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1、重难探究能力素养全提升成果验收课堂达标检测目录索引重难探究能力素养全提升探究点一分组法求和探究点一分组法求和【例1】已知在正项等比数列an中,a1+a2=6,a3+a4=24.(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足bn=log2an,求数列an+bn的前n项和.解(1)设数列an的公比为q(q0),an=a1qn-1=22n-1=2n.(2)bn=log22n=n,设an+bn的前n项和为Sn,则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=(2+22+2n)+(1+2+n)规律方法规律方法1.若数列cn的通项公式为cn=anbn,且
2、an,bn为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列cn的前n项和.2.若数列cn的通项公式为 其中数列an,bn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求cn的前n项和.变式训练变式训练1已知在等差数列an中,Sn+2=Sn+2n+3(nN+).(1)求an;解(1)设等差数列an的公差为d,Sn+2=Sn+2n+3(nN+),所以Sn+2-Sn=an+1+an+2=2n+3,可得an+2+an+3=2n+5,两式相减可得2d=2,所以d=1;所以an+1+an+2=an+1+an+2=2n+3,可得an=n.探究点二裂项相消法求和探究点二裂项相消法求和【例2】已知数列an的前n项和为Sn,满足
3、S2=2,S4=16,an+1是等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若an0,设bn=log2(3an+3),求数列 的前n项和.解(1)设等比数列an+1的公比为q,其前n项和为Tn,因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4=20,当q=-2时,a1=-5,所以an+1=(-4)(-2)n-1=-(-2)n+1.规律方法规律方法把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.常见的拆项公式:变式训练变式训练2在Sn0,-a3=4,数列 的前3项和为6,an0且a1,a2,a4+2成等比数列这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.已知Sn是等差数
4、列an的前n项和,a1=1,.(1)求an;(2)设 ,求数列bn的前n项和Tn.解(1)选条件:设等差数列an的公差为d,则由 -a3=4得(a1+d)2-(a1+2d)=4,将a1=1代入,解得d=2或d=-2,因为Sn0,所以d=2,所以an=2n-1.选条件:设等差数列an的公差为d,选条件:设等差数列an的公差为d,则由a1,a2,a4+2成等比数列得(a1+d)2=a1(a1+3d+2),将a1=1代入得d2-d-2=0,解得d=2或d=-1,因为an0,所以d=2,所以an=2n-1.探究点三错位相减法求和探究点三错位相减法求和【例3】设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a
5、3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.解(1)设an的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比为-2.(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.规律方法规律方法1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时要注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数
6、列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练变式训练3已知数列an的通项公式为an=3n-1,在等差数列bn中,bn0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列anbn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)an=3n-1,a1=1,a2=3,a3=9.在等差数列bn中,b1+b2+b3=15,3b2=15,则b2=5.设等差数列bn的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,(1+5-d)(9+5+d)=64,解
7、得d=-10或d=2.bn0,d=-10应舍去,d=2,b1=3,bn=2n+1.故anbn=(2n+1)3n-1,nN+.(2)由(1)知Tn=31+53+732+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-,得-2Tn=31+23+232+233+23n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+3n-1)-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n3n.Tn=n3n,nN+.成果验收课堂达标检测12345C12345A.13B.10C.9D.6 D123453.数列 的前2 021项的和为.123454.若数列an对任意nN+满足:a1+2a2+3a3+nan=n,则数列 的前n项和为.解析由a1+2a2+3a3+nan=n,得a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=n-1(n2),两式相减得nan=1,123455.已知等比数列an的前n项和为Sn,S2=36,a2是4a1与18的等差中项.(1)求an的通项公式;(2)设 ,求数列bn的前n项和.12345
