《新教材2023_2024学年高中数学第一章数列5数学归纳法分层作业课件北师大版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材2023_2024学年高中数学第一章数列5数学归纳法分层作业课件北师大版选择性必修第二册（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、123456789 10 11 12 13 14 15A 级 必备知识基础练C123456789 10 11 12 13 14 152.2023北京八中校考期中在用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN+)的过程中,从“k到k+1”左边需增乘的代数式为()A.2k+2B.(2k+1)(2k+2)D.2(2k+1)C解析当n=k时,左边A=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)2k,当n=k+1时,左边B=(k+2)(k+3)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(2k+2),故选D.123456789 10 11 12 13 14 15123
2、456789 10 11 12 13 14 153.已知数列an满足an+1an-2n2(an+1-an)+1=0,且a1=1,其前n项和为Sn,则S15=()A.196B.225C.256D.289B解析因为a1=1,故a2-2(a2-1)+1=0,故a2=3,同理a3=5,猜想an=2n-1,下面用数学归纳法证明an=2n-1.当n=1时,a1=21-1=1,设当n=k时,ak=2k-1,则当n=k+1时,有(2k-1)ak+1-2k2(ak+1-2k+1)+1=0,故ak+1=2k+1=2(k+1)-1,故由数学归纳法可得an=2n-1.123456789 10 11 12 13 14
3、15123456789 10 11 12 13 14 15D 123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 155.用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(nN+)时,初始值n0应等于.6解析由题意,当n=1时,21(1+1)2;当n=2时,22(2+1)2;当n=3时,23(3+1)2;当n=4时,24(4+1)2;当n=5时,25(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(nN+)时,初始值n0应等于6.123456789 10 11 12 13 14 156.用数学归纳法证明 .假设n=k时,不等式成立,则当n=k+
4、1时,应推证的目标不等式是.123456789 10 11 12 13 14 157.已知数列an满足Sn+an=n.(1)写出a1,a2,a3,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明数列an的通项公式.123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 158.(多选题)在数学上,斐波那契数列an可以用递推的方法来定义a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(nN+),则()A.a1+a3+a5+a2 021=a2 022B.a1+a2+a3+a2 020=a2 022AC
5、D 123456789 10 11 12 13 14 15解析对于A,由an+2=an+1+an,可得an+1=an+2-an,则a3=a4-a2,a5=a6-a4,a7=a8-a6,a2 021=a2 022-a2 020,将上式累加得a3+a5+a7+a2 021=a2 022-a2,又因为a1=a2=1,则有a1+a3+a2 021=a2 022.故A正确;对于B,由an+2=an+1+an,可得a3=a2+a1,a4=a3+a2,a2 022=a2 021+a2 020,将上式累加得a2 022=a2+(a1+a2+a3+a2 020),又因为a2=1,则a1+a2+a3+a2 020
6、=a2 022-1,故B错误;123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 15B123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 15则下列说法错误的是()A.过程全部正确B.n=1的验证不正确C.n=k的归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确ABC 123456789 10 11 12 13 14 15解析当n=k+1时,没有应用当n=k时的假设,即从n=k到n
7、=k+1的推理不正确.故选ABC.123456789 10 11 12 13 14 15B 级 关键能力提升练11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)k+1成立时,总有f(k+1)k+2成立.下列命题总成立的是()A.若f(6)7成立,则f(5)6成立B.若f(3)4成立,则当k1时,均有f(k)k+1成立C.若f(2)3成立,则f(1)2成立D.若f(4)5成立,则当k4时,均有f(k)k+1成立AD 解析若f(5)6不成立,则f(5)6,由题意知f(6)7,与f(6)7成立矛盾,所以f(5)6成立,A正确.B,C显然错误.若f(4)5成立,由题意,得当
8、k4时,均有f(k)k+1成立,故D正确.所以选AD.123456789 10 11 12 13 14 1512.在用数学归纳法证明“f(n)=1(nN+,n3)”的过程中,假设当n=k(kN+,k3)时,不等式f(k)1成立,当证明n=k+1,f(k+1)n2=1,当n=2时,22+2=6n2=4,当n=3时,23+2=10n2=9,当n=4时,24+2=18n2=16,由此可以猜想,2n+2n2(nN+)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,21+212,所以原不等式成立.当n=2时,22+222,所以原不等式成立.当n=3时,23+232,所以原不等式成立.(2)假设当n=k时(
9、k3且kN+)时,不等式成立,即2k+2k2.当n=k+1时,2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2.又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)0,即2k2-2(k+1)2,故2k+1+2(k+1)2成立.根据(1)和(2),原不等式对于任意nN+都成立.123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 1514.已知数列an的前n项和为Sn,且 -(an+2)Sn+1=0.(1)求S1,S2,S3,并猜想Sn(nN+);(2)用数学归纳法证明你的猜想.123456789 10 11 12 13 14
10、15123456789 10 11 12 13 14 15123456789 10 11 12 13 14 15C 级 学科素养创新练15.汉诺塔问题源于一种古老的益智游戏.这个游戏的目的是将图1中按照直径从小到大依次摆放在号塔座上的盘子,移动到号塔座上,在移动的过程中要求:每次只可以移动一个盘子,并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从号塔座移动到号塔座所需要的最少次数为an.123456789 10 11 12 13 14 15(1)试写出a1,a2,a3,a4的值,并猜想出an.(2)著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图2的形状
11、,此时小石子的数目分别为1,4,9,16,由于小石子围成的图形类似正方形,于是称bn=n2这样的数为正方形数.当n2时,试比较an与bn的大小,并用数学归纳法加以证明.123456789 10 11 12 13 14 15解(1)由题意得,a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,猜想an=2n-1.(2)a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,b1=1,b2=4,b3=9,b4=16,b5=25.则当2n5时,anbn,即2n-1n2.下面利用数学归纳法证明:当n=5时,a5=31,b5=25,a5b5,结论成立;假设n=k(k5,kN+)时结论成立,即2k-1k2,那么当n=k+1时,ak+1=2k+1-1=2(2k-1)+12k2+1=k2+k2+1.而当k5时,k(k-2)0,即k22k,ak+1=2k+1-1k2+k2+1k2+2k+1=(k+1)2=bk+1.当n=k+1时,结论成立.由可知,当n5时,结论成立.综上,当2n5时,anbn.123456789 10 11 12 13 14 15
