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1、基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升成果验收课堂达标检测目录索引课标要求1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数列中的命题.基础落实必备知识全过关知识点数学归纳法的定义数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:不要误以为n0=1(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;(2)假设当n=k(kN+,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.名师点睛数学归纳法中的两个步骤之间的关系记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以
2、把用数学归纳法证明的形式改写如下:条件:(1)证P(n0)为真;(2)证若P(k)(kN+,kn0)为真,则P(k+1)也为真,结论:P(n)为真.第一步验证了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真.只要将这两个步骤完成,就有P(n0)为真,P(k)真,P(k+1)真,从而完成证明.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.()(2)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=
3、k+1,等式的项数一定只增加了一项.()2.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)180,第一个值n0=3.重难探究能力素养全提升探究点一用数学归纳法证明等式探究点一用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+),“从k到k+1”左端增乘的代数式为.2(2k+1)解析令f(n)=(n+1)(n+2)(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2),规律方法规律方法用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点(
4、1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.探究点二用数学归纳法证明不等式探究点二用数学归纳法证明不等式规律方法规律方法用数学归纳法证明不等式的四个关键 探究点三用数学归纳法证明数列问题探究点三用数学归纳法证明数列问题【例3】已知数列an,a1=1,an+1=(n=1,2,3,).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.规律方法规律方法“归纳猜想证明”的一般步骤(1)求a2,a
5、3,a4的值;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.本节要点归纳本节要点归纳1.知识清单:(1)数学归纳法证明等式.(2)数学归纳法证明不等式.(3)数学归纳法证明数列问题.2.方法归纳:数学归纳法.3.常见误区:n的第一个取值不正确;当n=k+1时,添加的式子不正确.成果验收课堂达标检测123451.用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(nN+),验证n=1时,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4D 解析当n=1时,左边=1+2+3+4.12345D 123453.用数学归纳法证明 1)时,第一步应验证的不等式是.12345(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2 解析n=k时,左端为1+2+3+k2,n=k+1时,左端为1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.123455.设数列a1,a2,an中的每一项都不为0.证明:an为等差数列的充要条件是对任意nN+,都有12345证明先证必要性,设数列an的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立.再证充分性,用数学归纳法证明:设所述的等式对任意nN+都成立,首先在等式 两端同时乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差数列,记公差为d,则a2=a1+d.12345
