《新教材2023_2024学年高中数学第一章数列2等差数列2.2等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的综合应用课件北师大版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材2023_2024学年高中数学第一章数列2等差数列2.2等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的综合应用课件北师大版选择性必修第二册（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升成果验收课堂达标检测目录索引课标要求1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.基础落实必备知识全过关知识点1等差数列前n项和的函数特征等差数列的前n项和公式与二次函数的关系令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常数函数,an是各项为0的常数列.当A=0,B0(即d=0,a10)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,an为各项非零的常数列.当A0(即d0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0)受n的取值
2、的限制,画出的图象为平面直角坐标系内的一串点名师点睛1.等差数列an的前n项和Sn,有下面几种常见变形:2.求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值,但要注意nN+,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观.3.求等差数列an的前n项的绝对值之和,关键是找到数列an的正负项的分界点.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.()(2)等差数列an的前n项和为Sn=An2+Bn,则数列an的公差为2A.()(3)若等差数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A0),则其最大值或最小值
3、一定在n=取得.()(4)若等差数列an的公差d0,则an的前n项和一定有最小值.()2.若数列an的通项公式an=2n-37(nN+),则当n为何值时Sn取得最小值?提示由通项公式易知,a1,a2,a18都小于0,所以当n=18时Sn取得最小值.知识点2等差数列an的前n项和Sn的性质1.若an是等差数列,则也成等差数列,其首项与an首项相同,公差是an的公差的.2.若Sm,S2m,S3m分别为公差是d的等差数列an的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成公差是m2d的等差数列.3.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质:an是中间项过关自诊1.判断正误.(正确
4、的画,错误的画)(1)若等差数列an的项数为2n-1,前n项和为Sn,则Sn=(2n-1)an.()(2)若数列an的前n项和Sn=n2+1,则an不是等差数列.()2.若an是公差为d的等差数列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差数列?如果是,公差是多少?提示(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d.a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数
5、列.重难探究能力素养全提升探究点一等差数列前探究点一等差数列前n n项和的性质的应用项和的性质的应用(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求数列an的前3m项的和S3m.解(方法一)在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,30,70,S3m-100成等差数列.270=30+(S3m-100),S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3(100-30)=210.规律方法规律方法等差数列前n项和Sn的有关问题中,如果关于Sn的性质运用得当,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.B解析因为等差数列an,bn的前n项和分别是Sn,Tn,(2)等差数列a
6、n的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和.(3)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.解(方法一)设此等差数列为an,公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.由性质知S奇-S偶=an+1,an+1=11.又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,(2n+1)a1+d=77.(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,2n+1=7.故这个数列的中间项为11,项数为7.项数为2n+1=
7、7.又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.故中间项为11,项数为7.探究点二探究点二等差数列前等差数列前n项和的综合运用项和的综合运用 角度1.等差数列前n项和的最值问题【例2】(1)(多选题)在等差数列an中,首项a10,公差d0,前n项和为Sn(nN+),则下列说法正确的是()A.若S3=S11,则必有S14=0B.若S3=S11,则S7是Sn中的最大项C.若S7S8,则必有S8S9D.若S7S8,则必有S6S9ABC解析根据等差数列的性质,若S3=S11,则S11-S3=4(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14=7(a7+a8)=0,选项A正确;根据Sn的图象,当S3=S
8、11时,=7,且dS8,则a80,且d0,所以a90,所以S9-S8S9,选项C正确;S9-S6=a7+a8+a9=3a8S9,选项D错误.故选ABC.(2)在等差数列an中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.(方法二)同方法一,求出公差d=-2.an=25+(n-1)(-2)=-2n+27.a1=250,(方法三)同方法一,求出公差d=-2.S9=S17,a10+a11+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.a130,a140,d0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和.若a10,则Sn存在最小值,即所有非正项之和.2.求等差数列前n项和Sn最值的方法:寻找正、负项的分
9、界点,可利用等差数列性质或利用来寻找.运用二次函数求最值.变式训练变式训练2设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n的值为()A.8B.7C.6D.9C则等差数列an的通项公式为an=-11+2(n-1)=2n-13,则在等差数列an中,a1a2a3a4a5a6=-101=a7a8a90;当n35时,an200,当1n13时,由Sn200,得12n13,当14n31时,日销售量连续下降,由an0,且Sn为其前n项和,若S10=9a1+40d,则Sn取最小值时,n为()A.5B.6C.5或6D.6或7C解析因为S10=9a1+40d,所以10a1+
10、45d=9a1+40d,所以a1=-5d,即a6=0.因为数列an是等差数列,公差为d0,所以当n=5或6时,Sn取最小值.故选C.123452.等差数列an的前n项和为Sn,若S3=6,S6=21,则S9=()A.27B.45C.18D.36B解析由已知S3,S6-S3,S9-S6,即6,15,S9-21成等差数列,所以215=6+(S9-21),所以S9=45,故选B.12345B123454.在中国古代诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十二斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十六,要将第八数来言.”题意是:把992斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多16斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤C解析设第8个儿子分到的绵是a1,第9-n个儿子分到的绵是an,则an构成以a1为首项,-16为公差的等差数列,S8=8a1+(-16)=992,解得a1=180,故选C.123455.若等差数列an的前n项和为Sn=2n2+3n,p-q=5,则ap-aq=.20
