第74讲 函数的极值、最值及应用高考要求 1理解可导函数的单调性与其导数的关系；2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 知识点归纳 1极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而> （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值5 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值题型讲解 例1 求列函数的极值：（1）；（2）解：（1） 令，得驻点12+0-0+0+↗极大↘极小↗↗是函数的极大值；是函数的极小值（2） 令，得驻点-11-0+0-↘极大↗极小↘当时，极小=-3；当时，极大=-1值 例2 设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值解： 令（1），由表x（－∞，－2）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗取极小值（2）无极值（3）时，由表x（－∞，－）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗ 例3 求抛物线上与点距离最近的点解：设为抛物线上一点，则与同时取到极值令由得是唯一的驻点当或时，是的最小值点，此时即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）例4 设x＞－2，n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小分析：从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n=k到n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）过渡到（1+x）k时不等方向不确定，故需按1+x的符号讨论证明但本题若用导数解就比较简单了解：设f（x）=（1+x）n－1－nx，当n=1时，f（x）=0，∴（1+x）n=1+nx当n≥2，n∈N*时，f′（x）=n（1+x） n－1－n=n［（1+x）n－1－1］，令f′（x）=0，得x=0当－2＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（－2，0］上为减函数;当x＞0时，f（x）＞0∴f（x）在［0，+∞）上为增函数∴当x＞－2时，f（x）≥f（0）=0∴（1+x）n≥1+nx综上，得（1+x）n≥1+nx点评：构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法附：数学归纳法的证明过程：归纳——猜想——证明法解当n=1时，（1+x）1=1+x当n=2时，（1+x）2=1+2x+x2≥1+2x当n=3时，（1+x）3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2（3+x）≥1+3x猜想：（1+x）n≥1+nx证明：当x≥－1时，（1）当n=1时，（1+x）n≥1+nx成立（2）假设n=k时，（1+x）k≥1+kx成立，那么（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）≥（1+x）·（1+kx）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x∴当n=k+1时，（1+x）n≥1+nx成立由（1）（2）可知，当x≥－1时，对n∈N*，（1+x）n≥1+nx当－2＜x＜－1时，当n=1时，（1+x）n=1+x；当n≥2时，|1+x|＜1∴|1+x|n＜1而1+nx＜1－n≤－1，∴（1+x）n＞1+nx综上，得（1+x）n≥1+nx正确例5 设函数f（x）=－ax，其中a＞0，求a的范围，使函数f（x）在区间［0，+∞）上是单调函数分析：要使f（x）在［0，+∞）上是单调函数，只需f′（x）在［0，+∞）上恒正或恒负即可解：f′（x）=－a当x＞0时， 因为a＞0，所以当且仅当a≥1时，f′（x）= －a在［0，+∞）上恒小于0，此时f（x）是单调递减函数点评：要使f（x）在（a，b）上单调，只需f′（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f′（x）＞0（或＜0）单调递增（或减）例6 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程解：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即解得a=1，b=0∴f（x）=x3－3x，f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）令f′（x）=0，得x=－1，x=1若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上也是增函数若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值（2）曲线方程为y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03－3x0因f′（x0）=3（x02－1），故切线的方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）注意到点A（0，16）在切线上，有16－（x03－3x0）=3（x02－1）（0－x0），化简得x03=－8，解得x0=－2所以切点为M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力例7 用总长148 m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+05） m，高为=32－2x（m）设容积为y m3，则y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16），整理，得y=－2x3+22x2+16x所以y′=－6x2+44x+16令y′=0，即－6x2+44x+16=0，所以15x2－11x－4=0解得x=1或x=－（不合题意，舍去）从而在定义域（0，16）内只有x=1处使得y′=0由题意，若x过小（接近0）或过大（接近16）时，y值很小（接近0）因此，当x=1时，y有最大值且ymax=－2+22+16=18，此时，高为32－2×1=12答：容器的高为12 m时，容积最大，最大容积为18 m3例8 烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC= ， 于是点C的烟尘浓度为，其中为比例系数令，有，即解得在（0，20）内惟一驻点由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小例9 已知抛物线y=－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y=－x2+2得y′=－2x，∴k1=－2x0∴l的方程为y－（－x02+2）=－2x0（x－x0），令y=0，得x=令x=0，得y=x02+2，∴三角形的面积为S=··（x02+2）=∴S′=令S′=0，得x0= （∵x0＞0）∴当0＜x0＜时，S′＜0;当x0＞时，S′＞0∴x0=时，S取极小值∵只有一个极值，∴x=时S最小，此时k1=－，切点为（，）∴l的方程为y－=－ （x－），即2x+3y－8=0例10 利用导数求和：（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠0,n∈N *）（2）Sn=C+2C+3C+…+nC （n∈N *）解:（1）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n= （n+1）,当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=,两边对x求导，得Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=()=（2）∵（1+x）n=1+Cx+C x2+…+C xn,两边对x求导，得n（1+x）n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nC x n－1令x=1,得n·2n－1=C +2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C +3C +…+nC=n·2n－1小结：在求函数的极值和最值时，要注意极值和最值的区别能列表的应采用列表的方法，在处理应用问题时，一方面正确列出函数关系式，按函数求极值、最值的步骤进行另一方面在解题时还要随时利用应用题本身的特点，以及目标函数的取值范围确定驻点学生练习 1某物体作s=2（1－t）2的直线运动，则t=08 s时的瞬时速度为A4 B－4 C－48 D－08解析：s′=－4（1－t），∴当t=08 s时，v=－08答案：D2函数f（x）=x3－6bx+3b在（0，1）内有极小值，则Ab＞0 Bb＜ C0＜b＜ Db＜1解析：f′（x）=3x2－6b，令f′（x）=0，得x=±b∵f（x）在（0，1）内有极小值，∴0＜b＜1∴0＜b＜答案：C3函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则a的值为A B。