对非欧几何的认识

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1、非欧几何的诞生及其给我们的启示摘 要：非欧几何的创立是数学史上最光辉的篇章 ，也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范 ， 它不仅带来了数学思想的深刻变革 ，也使人们 的思想发生了极大的变化，使人们对真理、时 空等一系列重大的哲学问题有了新 的认识 ，对人类文化的发展产生了非同寻常的影响。数学 史上，非欧几何占有特殊的地位以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本 身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示 关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何；几何原本；1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧

2、几里得的几何原本其中公设 五是欧几里得自己提出的，它的内容是“ 若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和 小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点” 这一公设引起了广泛的讨论，因为 它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平 行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替从 古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图 解决这个问题数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替 平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公

3、设来沿第一条途径找到的 第五公设最简单的表述是1795年苏格兰数学家普雷菲尔(J.Playfair 1748-1819)给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行” 也就是我们今天中学课本里使用的平行公理但 实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它然而问题是，所有这些替代公设并 不比原来的第五公设更好接受，更“ 自然” 历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊 天文学家托勒玫(Ptolemy，约公元150年)做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无 意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何

4、的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展首先是意大利人萨凯里(Saccharin 1667-1733 )提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A 和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D .这样第五公设便等价于角C和角D是直角 这个论断萨凯里提出另2个假设：(1)钝角假设：角C和角D都是钝角；(2)锐角假设：角C和 角D都是锐角最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放 弃了最后结论但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同 于前人的新途径其后瑞士数学家兰伯特(Lambert1728-177

5、7 )所做的工作与萨凯里相似他 也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角他 同样在锐角假设下得到“ 三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的 差他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能著名的法国数学家勒让德(A.M.Legendar1752-1833 )对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形 内角之和不能大于两直角” 这预示着可能存在着一种新几何19 世纪初，德国人萨外卡特(schweikart 1780-1859)使这种思想更加明朗化他通过对“星形几何”的研究，指出：“存 在两类几何：狭义的几何(

6、欧氏几何)星形几何在后一个里面，三角形有一个特点，就是三 角形内角之和不等于两直角”1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论而著名的数学家高斯(Gauss 1777-1855 )、波约(Bolyai 1802-1860 )、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky1793-1856)就这样做了，成为非欧几何的创始 人高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人早在1792 年他就已经有一种思 想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立1794 年高斯发现在他的这种几 何中，四边形的面积正比于2

7、 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一 个常数，无论其顶点相距多远后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何他坚信这 种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角 形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出但他的测量因为仪器的误差 而宣告失败遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著人们是在他逝世后，从他与 朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法匈牙利青年数学家波约在研究欧 几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何” ，并写了一篇26 页的论文绝对空间的科学本论文出版时作为附录

8、附于其父的书为好学青年的数学原理 论著当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“ 我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”，在非欧 几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果罗巴切夫斯基 曾卓越的指出：“ 直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两 千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家 想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验(如天文检测)来检验最后，我肯定了 推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“

9、不论是如何给出的，只可以认为是说明， 而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设 和公理相联系经过推理后，得出3 个结论：(1)用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第 五公设，即第五公设是独立的；(2)与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结 合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何 学；(3)这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天 文观测来检验这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全

10、新的几何体系，是罗氏独创性思维的 结晶他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以简要叙述平行定理的一个严格证明 为题报告的由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义罗 巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标.1854年，黎曼(G . F . B . Riemann 1826-1866)摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维 度出发，建立了更一般的抽象几何空间.黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、 流形上的曲

11、线和曲线之间的夹角并以这些概念为基础，展开对n维流形几何性质的研究.在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率.他指出对于3维空 间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0.黎曼指出后两种 情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的 创造，它对应于另一种非欧几何学.黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点).在黎曼几何学中不承认平行线的存在.它的另一条公设讲：直线可 以无限延长，但总的长度是有限的.黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面. 19 世

12、纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在 欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义.贝尔特拉米的 模型是一个叫“ 伪球面” 的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得贝尔特拉米证明， 罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“ 伪球面” 片上的几何关系相符合：也就是说， 对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实这使罗巴切夫斯基 几何立刻就有了现实意义克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了在普通欧氏平面上取一个 圆，并且只考虑整个圆的内部他约定把圆的内部叫“平面” ，圆的弦叫“直线” （根据约定将

13、弦的端点除外）可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何 的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实在 克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划一条直线，而使之分 为上、下两个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏 几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然 后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立这样一来，如果罗氏系统在今 后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行 翻译，立即成为

14、相互矛盾的两个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了因此，只要承诺欧 氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞 家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也 是相容的这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性至此，历经2 000 余 年，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解， 人们最初的愿望终于变成了现实非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤在这里我们将沿着事物 的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义.M 克莱茵（M. Klein ）在评价这一段历史

15、的时候 说：“ 非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害当时萨 凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的但在一百年后，高斯、 罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数 学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论 的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社 会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展19 世纪前， 数学始终与应用数学紧密结合在一

16、 起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题但是非 欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验非欧几何为数学创造了一个全 新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考于是数学被 认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构这种观 点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与 物理空间的不同数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观这种建立在数学理论 基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实： 人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造物质世