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1、备战高考浪沖破压轴题讲与练当时，丨小丿川，则当 H2 时，Sn = Pan + lmSn_1 = pan + m第二章 数列与不等式专题 08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结 合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、 数列不等式的证明等加以综合探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本 专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1. 常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2. 常见思路二：构建函数模型，应用导
2、数研究函数的最值；3. 常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4. 常见思路四：应用基本不等式，确定最值【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理）已知等比数列 W满足川；（）；则掃取最小值时，数列仏的通项公式为（）A.囤=4尹1B囤=342C务=2” + 1【答案】A【解析】设等比数列汀心的公比为,a2 4 - m.* q =伉14p两式相减得： 】an+l 1 + pq=即*1 + p 4 - mP解得加1 1 1% p= p 2 Jp -=1又m 4pJ 4pp =-当且仅当：时，等号成立.丄沆取最小值1时,an = a1(7n_1 = 4-3n_1故选 A
3、.例2.(安徽省黄山市2019届高三第二次检测)已知数列和W的前仪项和分别为和厂，且八,6Sn = a, + 3an - 4(n G /V *)，若对任意的x技,n恒成立，贝旷的最小值为aJbG【答案】B解析】因为曲“ =a/ + 3a* - 4,所以6为 + 1 = n + 3an +- 4,相减得：+ 1 一 + 讥匚-1 _ W _弘匚因为U-C),所以厂5 = 3 又6S=订+坷_ 4,所以6两=盯+ 3伉_ 4,因为伉i0,所以珀=4,=y 1 (an - lXan + i - 1) 9n(n + 1)9 n n + 1-,即的最小值为，选B.例3. (2016高考上海文)无穷数列
4、由k个不同的数组成，S为 的前n项和若对任意n g N*,nn nS G 2,3, 贝 k 的最大值为 n【答案】k 二4max【解析】当n 1时，2或a 3 ；当n2时，若S 2，则S = 2，于是a = 0，若S 3，则S 311nn-1nnn-1于是a = 0.从而存在k g N *，当n.k时，a = 0nk其中数列a : 2,1,-1,0,0,0,满足条件，所以k = 4nmax例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点山 心在函数/门的图象上严小）.数列b = bg 比 + 1的前项和为，设，数列的前仪项和为则.的最小值为.【答案】解析】点在函数？ = y 图象上，S ,S
5、1（1 -巧创 是首项为弘=丄，公比q 的等比数列，；-,_ 2 _则i 是首项为 ，公差为2的等差数列，6x5x21 n丁丁T& =- 10 x 6 H=- 30当；，即八时，*最小，即最小值为 例 5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019 届高三上期末）等差数列的前n项和为二，f；卅，对一切沁汽“恒成立，贝的取值范围为.解析】a5 = 28 a2 + a4 = as + = 48a5-a1_28- 20_所以小川，41，c _n（20 + 2n + 18）_ /_ “、陶=旳 + 仇 _ l）d = 2 + 18 几-2_+ In2 + 19n + 303
6、0A V = ?! +19由 ni n | 19; | :/得”/（X）= x 4- + 19由函数的单调性及儿厂 兀知，30 TI + + 19当枇=2或汀咐，冷最小值为30,故匚 例 6. （2018 江苏高考真题）已知集合 A 二x I x 二 2n -1, n g N *, B 二x I x 二 2 n, n g N *.将 AjB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a .记S为数列a 的前n项和，则使得S 12a 1成立的n +1的最小值为.【答案】 27解析】设 a =2k，贝卩 S = (2 x 1 1)+(2 x 2 1)+ + (2 2kt 1) + 2 + 22 + 2
7、knn2k-1 G + 2 x 2k-1 1)2(1一 2k)=+= 22 k2 + 2 k+1 21 2由 S 12a 得 22k-2 + 2k+1 2 12(2k +1),(2k-1)2 20(2kt) 14 0,2k-1 25, k 6 nn +1所以只需研究25 a 16由 m2 + 25+1 2 12(2m +1),m2 一 24m + 50 0, m 22, n = m + 5 27得满足条件的n最小值为27例7. (2019 天津高考模拟(文)已知数列an是正项等比数列，a1+ a=10,3a 一 2a42a3 ,数列bn满足条件丫2a3 an = (如 (I)求数列a 1、b
8、的通项公式;nn11(II)设C = 丁 一 b，记数列C 的前n项和S . nabnnnn求 Snn求正整数k，使得对任意n e N *，均有S S . kn【答案】(1)a = 2n，b = n(n +1);nn(2)S =丄n n +1解析】设数列耳是正项等比数列的公比为q 0，因为a1+a =10a 一 2a4=a23a +aq =1011a q3 2a q = a q 21 1 1a = 2q=2，所以 an=2 n;aa a a =123n 2 x 22 x 23 x.x 2n = (V2) bn 21+2+3 + n = (迈)%n ( n 亠1)bp】n 2 2= 2 2 n
9、b = n(n +1);n11(2)因为 c 二-一r,nabnn所以, S = c + c + c + c n 123nnS=(a + a + a + + a ) (b + b + b + + b )123n 123nnS21-(2)n 1 1 1一 11x 2 2 x 3 3 x 4一 2n x (n +1)nS二 1 - (!) n- (1- 1 +1- 1+ 1- 1 + +222 33 4-y )，n n +1nS二 1 - (i)n - 1 + 丄二丄-(1)n . n2n +1 n +12令 S - S-n+1n n+2n+1 -丄 + (1n +12(n + 1)(n + 2)
10、 一 2 n+12n+1 (n + 1)(n + 2)由于2 n+1比(n + 1)(n + 2)变化的快，所以S 一 S 0 n +1n即 S1，S2, S3, S4，递增而 S4, S5, S6, Sn，递减，S4 是最大,即当k = 4时，对任意n g N*，均有S工Skn例& (2019 江苏高考真题)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.(1)已知等比数列an满足：a2 a4 = a5, a3-4a2 + 4a1 = 0，求证:数列an为“M 数列”；122(2)已知数列bj满足：b1 =1，= - n nn +1其中S为数列b的前n项和.nn 求数列b的通项公式；n 设m
11、为正整数，若存在“M数列” c0，对任意正整数k当kWm时，都有c剟b c 成立，求m的nk k k +1最大值.答案】(1)见解析；(2) b =n C g N *)；5.n解析】(1)设等比数列a的公比为q,所以a10，qM0.n1a a = aa 2 q 4 二 a q 4| a 二 12 44 5丄 40，得 1 1 J 40，解得| 1 2a 4a + 4a = 0 a q 2 4a q + 4a = 0 I q = 23 2 1 1 1 1因此数列a 为“M数列”.n122(2)因为=b b ，所以bn丰 -nnn +1122由 b1 = 1，S1 = b1 得 1 = 1 b，则
12、 b2 = 22122bb由 = 得 S = nn+1 由 S b b ，得 n 2(b b ) n n n +1n +1 nb bb b当 n 2 时，由 bn = Sn - 匸1，得 = 2 (b 叮b ) 2 (b b )n +1nn n 1整理得 b + b= 2bn +1n 1n所以数列b是首项和公差均为1的等差数列.n因此，数列b的通项公式为b=n n e N*丿nn由知， b =k， keN*.k因为数列c为“M-数列”，设公比为q,所以c=1，q0.n1因为 c Wb Wc，所以 qk-1 k qk，其中 k=1，2，3,，m. k k k+1当k=1时，有q21；ln kln k当 k=2，3,，m 时，有 Inq 1)，则 f (x)=xx 2令f(x) = ，得x=e.列表如下：x(1,e)e(e,+s)f (x)+0f (x)极大值ln 2 ln8 ln9 ln3ln32663因为 k 二丁 = = k，所以 f (k)= f (3)二一厂.max
