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1、32 洛必达法则 3. 8 函数图形的描绘 描绘函数图形的一般步骤: (1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数; (2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性; (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点; (6)联结这些点画出函数的图形. 例1. 画出函数y=x 3-x 2-x+1的图形. 解: (1)函数的定义域为(-, +), (2) f (x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), f (x)=6x-2=2(3x-1). f (x)=0的根为x= -1/3,
2、 1; f (x)=0的根为x= 1/3. (3)列表分析: x(-, -1/3)-1/3(-1/3, 1/3)1/3(1/3, 1)1(1, +)f (x)+0-0+f (x)-0+f(x)极大拐点极小 (4)当x +时, y +; 当x -时, y -. (5)计算特殊点: f(-1/3)=32/27, f(1/3)=16/27, f(1)=0, f(0)=1; f(-1)=0, f(3/2)=5/8. (6)描点联线画出图形: 例2. 作函数的图形. 解: (1) 函数为偶函数, 定义域为(-, +), 图形关于y轴对称. (2), . 令f (x)=0, 得x=0; 令f (x)=0,
3、 得x=-1和x=1. (3)列表: x(-, -1)-1(-1, 0)0(0, 1)1(1, +)f (x)0f (x)00y=f(x)拐点极大值拐点 (4)曲线有水平渐近线y=0. (5)先作出区间(0, +)内的图形, 然后利用对称性作出区间(-, 0)内的图形. 例3. 作函数的图形. 解: (1)函数的定义域为(-, -3)(-3, +). (2), . 令f (x)=0得x=3, 令f (x)=0得x=6. (3)列表分析:x(-, -3)(-3, 3)3(3, 6)6(6, +)f (x)-+0-f (x)-0+f(x)4极大11/3拐点 (4) x = -3是曲线的铅直渐近线, y = 1是曲线的水平渐近线. (5)计算特殊点的函数值: f(0)=1, f(-1)=-8, f(-9)=-8, f(-15)=-11/4. (6)作图.2
