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1、重难探究能力素养全提升目录索引学以致用随堂检测全达标重难探究能力素养全提升探究点探究点一一 组合组合问题在几何中的应用问题在几何中的应用【例1】平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线.以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形?分析 依题意,根据构成三角形的点的来源,可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准,也可以从反面考虑,任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数.解(方法1)以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.第1类,共线的4个点中有2个点为三角形的顶点,共有 =48个不同的三角形;变式探究本例题中的条件不变,可以构成多少个不同的四边形?规律方法利用组合知
2、识求解平面几何图形中的问题的方法(1)利用组合知识解决几何图形中的问题,要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理.(2)涉及由点线构成的平面几何图形问题,一般是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止重复.常用直接法,也可采用间接法.探究点探究点二二 分组分组与分配问题的解法与分配问题的解法角度1非均匀分组与非均匀分配【例2】7个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?(1)分成三组,分别为1人、2人、4人;(2)分成A,B,C三组,一组1人,一组2人,一组4人;(3)选出5个人再分成两组,一组2人,另一组3人.(2)由(1)可知,一组1人,一
3、组2人,一组4人的分法有105种.若分成A,B,C三组,一组1人,一组2人,一组4人的分法为 =630种.规律方法非均匀分组问题的解法所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组.求解时,可直接根据各组的数目,利用组合数及分步乘法计数原理选取.另外,非均匀分配问题的解法可以类比“非均匀分组”方法求解.变式训练1高二某班第1小组共12名同学,现在要调换座位,使其中3人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位不变,共有种不同的调换方法.440 解析成这一任务需要两步:第1步,从12人中选3人,共有 =220种选法;第2步,3人都不坐原来的座位有2种情况,所以共有2202=440种不同的调
4、换方法.角度2均匀分组与均分分配问题【例3】6个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?(1)分成两组,每组都是3人;(2)分成A,B两组,每组都是3人.解(1)6个人分成两组,每组有3人,属于平均分组,因此不同的分法 规律方法平均分组与平均分配问题的解法一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有 种.而平均分配问题,可以在平均分组的基础上进行全排列.变式训练2按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.解(1)先从6本书中取4本,剩余的两本分成两组属于平均
5、分组,因此根据分步乘法计数原理,共有 =15种分法.角度3“相同元素”与“不同元素”的分配问题【例4】(1)某单位安排4名员工到甲、乙、丙三个小区担任志愿者协助体温检测工作,每个小区至少安排1名员工,每名员工都要担任志愿者,则不同的安排方法共有()A.18种B.24种C.36种D.72种C解析根据题意,分2步进行分析:第一步,将4名员工分成3组,其中一组有2人,其他2组各1人,有 =6种分组方法;第二步,将分好的三组安排到甲、乙、丙三个小区担任志愿者,有 =6种情况.由分步乘法计数原理可知有66=36种不同的安排方法.故选C.(2)把9个完全相同的口罩分给6名同学,每人至少一个,不同的分法有(
6、)A.41种B.56种C.156种D.252种B解析问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列,再分成6堆,每堆至少一个,求其方法数.事实上,只需在9个完全相同的口罩间所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板,即可产生符合要求的方法数.故有 =56种分法.故选B.规律方法“相同元素”与“不同元素”的分配问题的求解方法(1)对于不同元素的分配问题,可以按需分配(即定人又定数可直接取),也可以按先分组后分配的方法处理,而对于相同元素的分配问题,除利用分类讨论方法外,也可以利用“隔板法”.(2)隔板法:将n个完全相同的元素分成m份(mn),每份至少一个的分法种数可按下列方法得到:将n个元素排成一
7、排,在它们中间共有(n-1)个位置;在这n-1个位置中插入m-1个挡板,恰好把n个元素分成m份,每份至少一个;由组合数的定义可知共有 种分法.变式训练3(1)现有4份不同的礼物,若将其全部分给甲、乙两人,要求每人至少分得一份,则不同的分法共有()A.10种B.14种C.20种D.28种B解析依题意,将4份不同的礼物分成(1,3)或(2,2)两组,再分配给甲、乙,(2)某高中准备将10个高校推荐名额分配给高三的6个班级,这6个班级每班至少要给一个名额,则分配方案的种数为()A.462B.126C.210D.132B解析将10个名额分为6份,即从10个名额间产生的9个“空档”中选择5个“空档”插入
8、挡板,且不分顺序,共有 =126种方案.探究点探究点三三 排列排列、组合的综合应用、组合的综合应用【例5】有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.分析(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生,再选出其他人担任4科课代表.(4)先安排担任语文课代表的女生,再安排担任“某男生”课代表,最后选其他人担任余下三科的课代表.规律方法解决
9、排列、组合综合问题的方法(1)解排列、组合综合问题的一般思路:“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:元素是否有序.对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.变式训练4现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习,每个车间至多去2人,有多少种不同的分配方法?本节要点归纳1.方法归纳:直接法与间接法求解几何问题,平均分组与平均分配问题,“隔板法”求解相同元素的分配问题,先选后排求解排列组合综合问题.2.注意事项:利用组合法求解组合问题分类讨论不全面;混淆
10、平均分组与平均分配问题、相同元素的分配问题与不同元素的分配问题的区别;求解排列组合综合问题要根据“排列有序、组合无序”的原则区分排列与组合的关系.学以致用随堂检测全达标123451.圆上有10个不同的点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为()A.720B.360C.240D.120D解析由题可知,圆上任意三点不共线,则可以确定三角形的个数为 =120.123452.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种C13453.某单位准备组织一场混合
11、双打比赛,现从4名男乒乓球爱好者和3名女乒乓球爱好者中各选2名选手进行一场混合双打比赛,则不同的选择方法有()A.48种B.36种C.18种D.12种2B13454.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.236解析 由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的安排方法共有 13455.从A,B,C共3个班级中选6人组成卫生检查小组,每班至少选一人,每班人数的不同情况有种.210解析将6个人排成一排,然后从中间形成的5个“空档”中选2个,分别放入一个隔板,即可将6个人分为3个部分,且每部分至少1个人,由此可得每班人数的不同情况有 =10种.
