《新教材2023_2024学年高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.5正态分布课件新人教B版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材2023_2024学年高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.5正态分布课件新人教B版选择性必修第二册（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升成果验收课堂达标检测目录索引课程标准1.通过实例,认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.理解3原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.2.通过本节的学习,体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用.基础落实必备知识全过关知识点一正态曲线1.定义一般地,函数对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称“钟形曲线”,(x)也常常记为,(x).其中=,即X的均值;=,即X的标准差.E(X)2.正态曲线的性质(1)正态曲线关于对称(即决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为;(3)决定正态曲线的“胖瘦”:越大,说明标
2、准差越大,数据的集中程度越,所以曲线越“胖”;越小,说明标准差越小,数据的集中程度越,所以曲线越“瘦”.x=1弱强名师点睛1.正态曲线位于x轴上方,与x轴不相交.2.曲线在x=时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,其图象“中间高,两边低”.3.当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移.4.正态曲线完全由变量和确定,参数是反映随机变量的平均水平的特征数,所以用样本的均值去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.过关自诊1.关于正态曲线特点的描述:曲线关于直线x=对称,这条曲线在x轴上方;曲线关于直线x=对称,这条曲线只有当x(-3,3)时才在x轴上方;曲线
3、关于y轴对称,曲线对应的函数是一个偶函数;曲线在x=时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;曲线的对称轴由确定,曲线的形状由确定;越大,曲线越“胖”,越小,曲线越“瘦”.说法正确的是()A.B.C.D.A解析参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,只有当=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此A选项正确.2.北师大版教材习题改编若随机变量N(,2),其概率密度函数为(xR),则的值为()A.1B.2C.4D.8B知识点二正态分布1.正态分布一般地,如果随机变量X落在区间a,b内的概率,总是等于,(x)对应的正态曲线与x轴在区间a,b内围成的,则称X服从参数为与的正态分布,记作X.此
4、时,(x)称为X的概率密度函数,此时是X的,是X的,2是X的.面积N(,2)均值标准差方差2.随机变量X在三个特殊区间内取值的概率及3原则(1)在三个特殊区间内取值的概率若XN(,2),则P(|X-|)=,P(|X-|2)=,P(|X-|3)=.P(-X+)68.3%P(-2X+2)95.4%P(-3X+3)99.7%(2)3原则由于随机变量X在(-,+)内取值的概率为1,又由P(-3X+3)99.7%知,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3原则”.通常认为这种情况几
5、乎不可能发生名师点睛X几乎都取值于区间-3,+3之内,而在此区间以外取值的概率是极小的,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统计中常用的检验的基本思想.3.标准正态分布=0且=1的正态分布称为标准正态分布,记作X.过关自诊1.如果随机变量XN(4,1),则P(X1)=.(精确到0.001)0.2解析由正态曲线关于直线x=对称,且在x=处达到峰值和其落在区间(,+)内的概率为0.5,得=0.2.0.6830.8410.159重难探究能力素养全提升探究点一正态曲线及其性质探究点一正态曲线及其性质【例1】某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图所示曲线
6、可得下列说法中正确的一项是()A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同A解析由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态曲线的性质,可知越大,正态曲线越“胖”;越小,正态曲线越“瘦”.故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.规律方法规律方法利用正态曲线的性质求参数,(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=对称,由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x=处达到峰值,由此性质结合图象可求.(3)由曲线的“胖瘦”区分的大小.变式训练1(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布,其密度函数图象如
7、图所示,则下列说法正确的是()A.甲类水果的平均质量1=0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数2=1.99ABC解析由图象可知,甲类水果的平均质量1=0.4kg,乙类水果的平均质量2=0.8kg,故A,C正确;甲图象比乙图象更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99,即=1.99,21.99,故D错误.故选ABC.探究点二正态分布下的概率计算探究点二正态分布下的概率计算【例2】(1)已知随机变量服从正态分布N(2,2
8、),且P(4)=0.8,则P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2C解析随机变量服从正态分布N(2,2),=2,其图象的对称轴是直线x=2.P(4)=0.8,P(4)=P(0)=0.2,P(04)=0.6,P(02)=0.3.故选C.(2)人教A版教材习题改编某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:165X175;X175.解XN(170,52),=170,=5.P(165X175)=P(-X+)0.683.P(X175)=P(X165)=0.1585.规律方法规律方法服从正态分布的随机变量在某
9、个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和正态曲线与x轴所围成的图形面积为1.(2)注意概率值的求解转化:P(Xa)=1-P(Xa);P(X-a)=P(X+a);若b,则P(X1)=0.3,则P(01)等于()A.0.4B.0.2C.0.3D.0.5B解析(1)由题意,随机变量N(0,1),P(1)=0.3,则P(-1)=0.3,所以,P(01)=P(-11)=(1-0.3-0.3)=0.2.故选B.(2)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2),下列结论中不正确的是()A.越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0
10、.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等D解析对于A,2为数据的方差,所以越小,数据在=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)
11、的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.故选D.探究点三正态分布的实际应用探究点三正态分布的实际应用【例3】(1)北师大版教材习题一批电阻的阻值X(单位:)服从正态分布N(1000,52),现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一只电阻,测得阻值分别为1011和982,可以认为.(填写所有正确结论的序号)甲、乙两箱电阻均可出厂;甲、乙两箱电阻均不可出厂;甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂;甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂.解析因为XN(1000,52),所以=1000,=5.所以-3=1000-35=985,+3=1000+35=1015.因为1011985,1015,982985,1015
12、,所以甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.(2)设在一次数学考试中,某班学生的分数XN(110,202),且知试卷满分150分,这个班共54名学生,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.解由题得=110,=20,P(X90)=P(X-110-20)=P(X-),P(X-)2P(X-)+0.683=1,P(X-)=0.1585.P(X90)=1-P(X-130)=P(X-11020)=P(X-),P(X-)0.683+2P(X-)=1,P(X-)=0.1585,即P(X130)=0.1585.540.15859,即130分以上的人数约为9.变式探究如果例3
13、(2)中把条件“这个班共54名学生”换成“现已知该班同学中不及格的有9人”,求相应结论.解XN(110,202),=110,=20,P(110-20X110+20)0.683,X90的概率约为(1-0.683)=0.1585.设该班学生共有x人,则0.1585x=9,解得x57.P(X90)=1-0.1585=0.8415,这个班在这次数学考试中及格的人数为0.84155748(人),又P(X130),130分以上的人数约为9.规律方法规律方法1.利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3区间,由特殊区间的概率值求出.2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握随机变量在-,+
14、,-2,+2,-3,+3三个区间内的概率值.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.3.利用“3原则”可进行合理性分析.变式训练3人教A版教材例题改编小明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.如果某天有38min可用,小明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.解对于随机变量X,样本的均值为30,样本的标准差为6;对于随机变量Y,样本的均值为34,样本的标准差为2
15、.用样本的均值估计参数,用样本的标准差估计参数,可以得到XN(30,62),YN(34,22).应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.P(X38)P(Y34).所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.成果验收课堂达标检测123451.下列函数是正态分布密度函数的是()B123452.经统计,某市高三学生期末数学成绩XN(85,2),且P(80X90)=0.3,则从该市任选一名高三学生,其成绩不低于80分的概率是()A.0.35 B.0.65C.0.7D.0.85B解析由已知P(X90)=1
16、-P(80X90)=(1-0.3)=0.35,所以P(X80)=P(80X90)+P(X90)=0.3+0.35=0.65.故选B.123453.某县农民的月均收入服从正态分布,即N(1000,402),则此县农民月均收入在1000元到1080元间人数的百分比为.(附:若XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954)47.7%123454.2023北京临川学校高二期中上次月考刚好有900名学生参加考试,学生的数学成绩N(105,102),且P(95105)=0.34,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为.144解析学生的数学成绩N(105,102),且P(95105)=0.34,P(105115)=0.34,P(115)=0.5-0.34=0.16,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为9000.16=144(人).123455.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(0).若在(0,1)内取值的概率为0.4,求在(0,2)内取值的概率.解如图,易得P(01)=P(12),故P(02)=2P(01)=20.4=0.8.
