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1、第八章 高斯平面直角坐标1 正形投影的基本公式一、地图投影的概念1. 投影的必要性及其方法 投影的必要性： 测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。因：1）椭球面上计算复杂；2）地图 是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。 投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）x=F（B, L）y=F2（B, L）式中B, L椭球面上的大地坐标x, y投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x, y叫高斯平面直角坐标。2. 投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱,圆锥面是可展开曲面）。若展开成平面,必产生变形。投影按变形的性 质
2、可分为：等距离投影一投影后地面点见的距离不变等面积投影一保证投影后面积不变等角投影一投影后微分范围的形状相似3. 测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑,采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把椭球面上的角度,不加改正地转换到平面上。（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。为实 用,需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向,称方向改化。方向改化是在平面上为实用而做的工作,非投 影工作。且：改化小，公式简单；只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）2）因微分范围内投影前后图形相似,则大比例尺图的图形与实地完全相似,应用方便。二、正形投影1. 正形投影的特性有微分三角形如图：对
3、于保角投影：A =A ； B =B ； C =C所以长度比d a d bd cm =da db dc故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。即投影后保持图形相似。例如下图，对一个 任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：oa_ ob oa ob但上述特点只在微分范围内成立。在广大范围内，投影前后图形 保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。因此，在大范 围内，各处的长度比m必定不同。结论：正形投影的特性：长度比m与方向无关，但随点位而异。2. 正形投影基本公式（充要条件）设椭球面上有无限趋近的两点P，P2椭球面上： P1（B， L）P2（
4、BdB， LdL）大地线长度 dS投影面上： p1（x， y）p2（xdx， ydy）大地线长度的投影ds投影长度比为：dsm _dS下面分别推导上式中dS和ds：（dS和ds为曲线，但对微分线段，将其看成各自三角形的斜边）dS2=（MdB）2+（NcosBdl）2= （MdB）2+（rdl）2bbddl+dlLGl+dB2d,、特定 子午线= r2(dB)2+(dl)2r引入等量纬度q _f M d B，r则 dq = ( M )dBr引入等量纬度纯粹为了推导公式方便）dS2=r2（dq）2+（dl）2 另：x=Fl（B，L）y=F2（B，L） 因q与B有确定的关系，l与L有确定的关系，所以
5、有：x=f；(q，l)y=4(q，1)微分得：d y _f|d q +故：令：d s 2 = d x 2 + d y 2=（dx）2+（ dy）2d q 2+監）2+（号）2d l + 2（翳+dy 号）* q - d，（郑 +（ ?）2 = E dqdq则：ds2=Edq2+2Fdq. dl+Gdl2故：“d ds 2E d q 2 + 2 F d q - d l + G d 12 2 dS2r 2（d q 2 + d 12）由微分三角形知：tan（90 - A） = MB =屯r dldl所以：dl=dqtanA 将代入得：E d q2 + 2F d q2 tan A + G d q2 t
6、an2 A E cos2 A + 2F sin A cos A + G sin2 A m 2 =r 2 d q 2（1 + tan2 A）r2欲使投影为正形投影，长度比m应与方向（A）无关。为此:令：F=0 ； E=G即:色竺+空空= dq dldq dl（dX）2 +（詈）2 =（冒）2 + （d）2 则上式为：EGm 2 =-r 2r 2（可看出m与方向无关）由式可解得：dy dydxdq dl dldxdq式代入得：式开平方得：竺=空dq dl取正号代入得：d=-dy dl dq（注：式取正号意义是：选取椭球面和平面坐标轴方向时，要求在经线方向上q增加时，平面上x也增加；沿纬线方向l增加
7、时，y也增加）故，椭球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）（牛+ （知=G dx dx dy dy _ dq dl dq dldxdydqdldxdydldq（此即正形投影的充分必要条件）3. 证明复变函数x+iy=f（q+il）当于存在、且工0时亦为正形投影证明如下：基本投影公式x=F(B, L)y=F2(B, L)亦可写成x=f(q, l)y=f2(q，i)用复变函数形式写出为令x+iy=f(q+il)(q+il复变数；i = 丫一1 )x+iy=zq+il=u则z=f(u)求导dzdz du比.1 dq du dqdudzdz dudz. i dldu dldu由、式可得乞(11
8、)dldq因z= x+ iy故竺+ i空(12)dldldl迟二竺+ i空(13) dqdqdq将2、3式代入（式得dx + i dy = i dx _ dy( dldldqdqdxdy（式虚实分开dldqdxdydqdl此即柯西黎曼方程。证毕。练习及作业：1、阅读8.1，8.22、理解： 、投影的必要性及方法。 、投影的分类及测量采用的投影类型。 、正形投影的特性。2 高斯投影及高斯平面直角坐标一、咼斯投影的一般解释及其特性1. 高斯投影的几何意义高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。设想一横椭圆柱面套在椭球上，与某一子午线（称轴子午线 或中央子午线）相切。椭圆柱的中心轴通过椭球中心，且与
9、椭球短轴垂直。x2.高斯投影的特性影；p3高斯投影的般解p2-轴子午线投影到椭圆柱面:上形直线。它垂直于x轴，称为y车椭球上任一段大地线S,以O为投影中 影除外）。N以投影到椭 高斯投影是正 中央子午线投影后应为SI椭球上大地点P的坐标（B, L）,与投影后的坐标（x, y），在B，L和x，y之间建立函度变形m-赤道上各点横椭圆柱影为s，sSo长中央子午线主W变 度 长数关系，即高斯投影。将中央子午线东西各一定的经差（6、3、1.5）范围投影到椭圆柱面上，展开后构成高斯平面直角坐 标系；每个投影带构成一个独立的坐标系统，各带的计算具有一样性。4. 控制网从椭球面上投影到高斯平面上的投影计算工作
10、 起算数据投影椭球面上已知元素： P1（B1， L1）； S； A12；投影到高斯平面上： p1（x1， y1）； s； A12；（平面上方位角为：T =A rC ； r：平面子午收敛角；6 :方向改化）展赤道投影”2公式为:满足正形投影。X轴子午线投駅矽P高斯道观测数计算：&，提微小量，所以，f（q+il）可用台劳级公式二、咼斯投影正A1高子正算因l在6由大地坐标B、L计满足高斯投影的特性。平面坐标x、yP4x+iy=fq+il）(台劳级数一般形式：fx+/) =fx)+/f(x) + (1 /乎)+(1/3!)/fKx).)故有：f (q + i -1) = f (q) + i -1+ 2
11、(i. l)2+dq 2dq 2设图中，轴子午线上D投影为d；D的子午线弧长为X； d的纵坐标为x。 若满足高斯投影中央子午线投影为x轴，且长度不变的特性，即：1=0时， y=0；且 x+iy=fq+i1）为：x= f（q）= Xx + i - y 二 f (q + i -1)二 X + i -1dl -112d q 2d2 X+ dq 2台劳展开x+iy=f （q+il）,并顾及上式：将上式虚实两部分分开，得高斯正算基本公式：X二X - 112班+丄14 一丄16沁+2 d q 224 d q 4720 d q 6d x 1 d3 X 1d5 Xy 二 1 一 13+15d q 6 d q
12、3 120 d q 52. 高斯正算实用公式由基本公式推导实用公式如下：一阶导数也=空 = r = N cos B(因 dX=MdB； dq=( )dB)dq d B dqrd（）二阶导数色=2（空）=纹dB = d（“cosB dB 一nsinBcosBd q 2d q d q d B d q d B d q继续求各阶导数，将X对q的各阶导数代入基本公式，得高斯正算实用公式x = X + sin B cos B -12 +sin B cos3 B(5 -12 + 刘 2 + 4耳 4)14 2 P 224 P 4y = cos B -1 + cos3 B(1 一 12 +耳2)13 h (8
13、-41, 8-42) P6 - P 3式中：t=tanB ； n =e，2cos2B由上式可知：1）当B=0 （X= 0）时，x=0 （赤道投影为一直线）2） 当1=0时，y=0 （轴子午线投影为一直线 x轴）x=X （轴子午线投影，长度不变）3）当 1=常数，Bf, yjB =常数，丨1丨f, xf（8-42 式计算精度可达 1mm）三、高斯投影反算（由平面直角坐标x、y反算大地坐标B、L）Bx/Boy/B(M0) d(x,y)有时要跨带计算两点间的距离S,这时根据两点的大地坐标，在椭球上 解算更为方便；有时要用反算检核正算的正确性。故推导反算公式如下。见图。过d（x，y）点的纬度为B,对应
14、纬度B,轴子午线弧长为X,有X =f（B）；对应d点的纵坐标，即d点在x轴的垂足f纬度为Bf （称底点纬度或垂足纬度)。高斯投影反算，必满足x+iy=f(q+i7)之反函数式，即 qil=(xiy)y为小量，上式可在d的底点f处台劳展开q + il勺(x) +工皿2 .业dxnn!故 q/=0=( Xf)= qf，于是上式改写成q + il = q +瓦(dnq ) fdX n fn!11根据高斯投影条件：中央子午线投影为x轴，且长度保持不变，有y=0，则1=0，即ql= (x)，且x=Xf,根据虫=1，推导出各阶导数代入上式，并将虚实分开得dXN cos Bq-qt y2 +t (5 + 6t2 +r 2 一4q4)y4 一2N2 cos
