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1、线性代数试卷(A卷)、填空题(每题 4分,将正确的答案写在题后的横线上)1计算四阶行列式a 00b0 12 00 3 4 02.若n阶方阵A, B满足AB - A + B则(A E)-1 =1 23.设方阵A = 4 t3-1,非零矩阵BAP满足BA二0则t = 丿且又4.设 a =(2,5,1,3), a =(10,1,5,10), a =(4,1,一1,1)1233(a - x)+ 2(a + x) = 5 (a + x)123贝y向量x=。5. 齐次线性方程组九 x + x + x = 0 123 x + 九 x + x = 0123x + x + 九 x = 0123只有零解,则应满足
2、的条件是=6.已知三阶矩阵A的特征值为1, 1, 2 ,设矩阵B = A3 - 5 A2 ,则行列式8.设向量组3、121r 111,4、1 ,则向量组是线性=。(相关还是线性2 0 0 2 0A=0 1 0B=0 10 0 -11 2已知J丿与B = =7.0、1x丿相似,则x =无关).9.若向量组 a = (a, aa) ,a= (a, a, a ),a= (a, aa )的秩为1 11 121n2 21 222 nmm1 m 2mnq,则向量组卩=(a, aa),卩=(a, a a ),卩=(a, aa )的秩为1 11 21m12 12 22m 2n1n 2 n mn =。10.已知
3、二次型 f = -5x2 - 6y2 - 4z2 + 4xy + 4xz ,则它是(正定或负定)二次型 。二、判断题(每题3分,将“V”或“X”填在题后的括号内)1. 设A、B为n阶非零方阵,则AB = BA.()2. 设B、C为n阶非零方阵,且矩阵A可逆,若AB = AC,则B = C.()3. 已知矩阵A的秩R(A) = r,则A中所有r阶子式都不为零.()4. 矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等.()5. 设九,九是矩阵A的2个不相等的特征值,对应的特征向量依次为p , p,1 2 1 2P + P也是A的特征值.()12三、 计算题(45 分)x 22 x - 2x-12x-1x-
4、22x-2x 32 x - 31.设函数f ( x)=,则方程f (x) = 0的根的个数为多少!3 x 33x-24x-53 x 54 x4x-35x-74 x - 3分别是什么?(8分)2.求向量组片=(1,-1,2,8),卩2 = (1,-1,2,4),卩3 = (1,2,3,2),卩4 =(,3丄2),B5 = (2,1,5,10)的秩及一个极大无关组(8分)x + ay + a 2 z = 13. a,b为何值时,方程组 0),其中二次型的矩阵的1231231 3特征值之和为 1,特征值之积为12.(1)求a, b的值;2)利用正交变换将二次型 f 化为标准型,并写出所用的正交变换和
5、所用的正交矩阵.线性代数试卷(B卷)分数20分得分一、选择题:(每题4分,共20分)1.设A、B为n阶方阵,下列说法正确的是A. AB二BA c. I- A = 一|AB. A 2 - B 2 二(A - B)(A + B)D.若 A 可逆,k 丰 0,则(kA)-1 = k-1A-12已知D = 4 56,Aj表示(,j的代数余子式,则A2i + 2 A22 + 3 A23二7 8 9A. 0B. -3 C. 3D. 53. 下列命题不正确的是 A. 向量组线性相关,则其部分组可能线性无关;B. 若向量组线性无关,则其部分组必线性无关C. 若向量组线性相关,则其部分组必线性相关D. 正交向量
6、组必线性无关.4. n 阶方阵 A 与某对角矩阵相似,则 .A.方阵A的秩等于n . B.方阵A有n个不同的特征值.C.方阵A 一定是对称阵.D.方阵A有n个线性无关的特征向量.5. 线性方程组A x二b有唯一解的充分必要条件是mxnA. m = n ;B. R( A) = R( A, b) = n ;C. Ax二0只有零解;D.以上都不对.分数20分得分1.已知向量组:二、填空题(每题4分,共20分)=(1, 2, 一1,笃=(2, 5, 3巴=(1, 3, 4,则3a - 2a + 4a1232 .当常数a =或时,方程组ax = 0i ax + 5x = 0有非零解23X 一 X = 0
7、233.设 A 为n 阶方阵,且 A2 = A,贝y(A 2E)-1 =.4设三阶方阵A的三个特征值为:入=2,入2 = 1,入3 = 3 ,则|A| =A的伴随矩阵对应的行列式|A* =.5.如果f (x,x ,x )= x2 + 2x 2 + tx 2 + 2xx + 4xx + 6x x是正定的,则t的取值范围123123121323是.三、解答题:(每题10分,共60分)1.求矩阵A =1一1302一42、-14丿的秩,并求一个最高阶非零子式.2.设 A =01-13、0 , AX = 2X + A,求 X .3丿3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3已知勺,今是它的三个解向量,
8、且(2 3,g +g =24233 5丿 4丿求该方程组的通解.4.(1+九)x + x1 2九取何值时,非齐次线性方程组 x + (1+九)x + x =九(1)有唯一解;(2)无解;123x + x + (1+尢)x =一尢1233)有无限多个解?厂06.设 A = -1、15.设n阶矩阵A的伴随阵为A*,证明:(1)若|A| = 0,则A* = 0.(2) A* = |A|n-1一 1 101,求一个正交阵P,使P-1AP = A为对角阵。1 0丿线性代数试卷(C卷)|得分| 一、单项选择题(每小题3分,共15分)1、A和B均为n阶矩阵,且(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
9、,则必有()A A 二 E ;B B 二 E ; C A 二 B .D AB 二 BA。2、设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0 B. B 工 C 时 A=0C. A 工 0 时 B=C D. |A| 工 0 时 B=C3、设A是s x n矩阵,则齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条 件是( )A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关4、若x是方程AX = B的解,x是方程AX = O的解,贝9()是方程AX = B的 12解(c e R )C. cx 一 cx D. cx + x1 2 1 2
10、 )B.所有r- 1阶子式全为0D. 所有r阶子式都不为0A. x + cx B. cx + cx1 2 1 25、设矩阵A的秩为r,则A中( A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于0二、填空题(每小题3分,共15分)1、已知向量a 二(1,3,2,4)t 与 0 二(k,-1,- 3,2k)t 正交,(1 I)-】2、= .10 1丿3、设3阶矩阵A的行列式| A |=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.4、如果X ,X都是方程A X二O的解,且X丰X,则|A |=;12nxn12nxn(填相关或无关)5、设向量组a = (1,0,0)t,a = (-1,3,
11、0)T,a = (1,2,-1” 线性123三、 (10分)计算行列式-52110-5-123-41 -13-3四、(10 分)已知 f (x) = x2 + 4x-1,(1A = 2 0-2 0、10 ,求f(A)。o 2” 2x 一 3x + x + 5x = 01234五、(10分)求齐次线性方程组 -3x + x + 2x - 4x = 0的一个基础解 1 234x 2 x + 3x + x = 0I 123 4系及其通解.得分|六、(12分)判定二次型f = -x2 -x2 -x2 + 4x x + 4x x -4x x的正定性,I寸 4 I1231 21 32 3并求该二次型的秩。
12、七、(10 分)求向量组:T-2 -3 -12556a =-1, a =2,a=, a =17123-74-1-1-49的秩及一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.得分1 1 00 0 0 -八、(12分)已知矩阵A =1 1 0与B =0 3 0,相似10 0 30 0 x(1)求x;(2)求可逆矩阵P,使得P-1AP = B。得分|九、(6分)设3阶矩阵A的特征值为2 (二重),-4,求卜*一、单项选择题(每小题3分,共 15分)评分标准:选对得3 分,不选或选错得0 分1、D;2、D; 3、D; 4、A; 5、C二、填空题(每小题3分,共15分): 评分标准:填对得3 分,不填或填错得0 分11)1、24;2、;101丿3、-2;4、0;5、无关三、计算行列式(12分1、原式 =4010 分四、(10 分)解-34A2 =4304分1 004 J480、4A=840O