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1、三点共线经典题型（更新）例1如图ABC，D是ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD分析由三角形的中位线得，MSAE，MS=0.5AE，HSCF，HS=0.5CF由已知得HS=SM，从而得出SHM=SMH，则得出TGH=THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD解答：证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，GHM分别为BD，AC，EF的中点，MSAE，MS=0.5AE，HSCF，HS=0.5CFGTCD，HTAB，GT=0.5CD，HT=0.5AB，GTHS，HTSMS
2、HM=TGH，SMH=THG，TGH=THG，GT=TH，AB=CD例2如图，已知菱形ABCD，B=60，ADC内一点M满足AMC=120，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线分析求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证PDA+ADC+CDQ=180，根据PACAMC，AMCACQ，可以得出PAD=DCQ=60；进而证明PADDCQ，得出APD=CDQ，则结论可证解答连接PD，DQ， 由已知PAC=120，QCA=120， PACAMC，AMCACQ PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC AC2=PAQC，又AC=AD=DC PA/D
3、C=AD/QC，又PAD=DCQ=60， PADDCQ，APD=CDQ PDA+ADC+CDQ=180， P，D，Q三点共线本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等例3如图，ABC内接于圆，点D是圆上异于A、B、C三点的任意一点，过D点作DPAB，DQBC，DRAC，交AB、BC、AC分别为P，Q，R（1）求证：BDP=CDR；（2）求证：P，Q，R三点共线分析（1） 由已知中四边形ABDC为圆内接四边形，根据圆内接四边形性质，我们易得DBP=DCP，结合已知中DPAB，DRAC，根据等角的余角相等，即可得到答案（2）由已知中DPAB，
4、DQBC，可判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到PQD=PBD，同理可得RQC=RDC，结合（1）中结论，我们易证明PQD+RQD=180，进而得到P、Q、R三点共线证明：（1）由已知可得四边形ABDC为圆内接四边形则DBP=DCP又DPAB，DRAC，BDP=90-DBP，CDR=90-DCP；BDP=CDR；（2） DPAB，DQBC，P、D、Q、B四点共圆PQD=PBD同理可得RQC=RDCPBD+RDC=90PQD+RQD=90+CQD=180故P、Q、R三点共线本题考查的知识点是圆内接四边形的判定与性质，其中根据已知条件判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理
5、得到PQD=PBD，并同理得到RQC=RDC，是证明三点共线的关键例4已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ，PM与QN的交点为R求证：R，A，C三点共线分析延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，易证PN=NT，PC=CT，进而根据O是MN的中点所以R，C，O三点共线、A，O，C三点共线，可以证明R，A，C三点共线证明：延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，BNQ=CNT，BN=CN，NBQ=NCT，BNQCNT（ASA），CT=BQ=CP，PN=NT，PC=CT，MNCD，MO=ONO是MN的中点所以R，C，O三点共线，又A，O
6、，C三点共线，所以R，A，C三点共线本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中求证R，C，O三点共线是解题的关键例5如图，O，H分别是锐角ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点由H向A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F求证：D，E，F三点共线分析根据AE平分BAC，M为弦BC的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EGOA，DGOA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交O于M，则ODBC，弦BC=弦CMA、E、M三点共线，又AE、AF是A及其外角平分线，AEAF，HEAE，HF
7、AF，四边形AEHF为平行四边形，AH与EF互相平分，设其交点为G，于是，AG=0.5AH=0.5EF=EGOA=OM，ODAH，OAM=OMA=MAG=GAE，EGOA 又O、H分别是ABC的外心和垂心，且ODBC，OD=0.5AH=AG，四边形AODG为平行四边形，DGOA，由可知，D、E、G三点共线，而F在EG上，D、E、F三点共线本题考查了三角形外接圆的性质在证明三点共线问题中的运用关键是利用平行线，圆周角定理，垂径定理证明三点共线例6 四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F
8、三点共线。证 如图。连接PQ，并在PQ上取一点M，使得B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E，并作QG丄PF，垂足为G。易如QE2=QMQP=QCQB PMC=ABC=PDQ。从而C，D，Q，M四点共圆，于是PMPQ=PCPD 由，得PMPQ+QMPQ=PCPD+QCQB，即PQ2=QCQB+PCPD。易知PDPC=PEPF，又QF2=QCQB，有PEPF+QF2=PDPC+QCAB=PQ2，即PEPF=PQ2-QF2。又PQ2QF2=PG2GF2=(PG+GF)(PGGF)=PF(PGGF)，从而PE=PGGF=PGGE，即GF=GE，故E与E重合。所以P，E，F三点共线。例7 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。证 连AK，DG，HB。由题意，ADECKG四边形AKGD是平行四边形AKDG同理可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形对角线AB，KH互相平分又C是AB中点，线段KH过C点故K，C，H三点共线。
