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1、第2节 数列的通项公式与求和题型74 数列通项公式的求解1. (2013安徽文19）设数列满足，且对任意，函数满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.1. 分析 （1）求导，代入，并对所得式子进行变形，从而证明数列是等差数列，再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将代入化简，利用分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式计算.解析 （1）由题设可得.对任意，即，故为等差数列.由，可得数列的公差，所以.（2）由知，.2.（2013广东文19）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，,且构成等比数列(1) 证明：；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明：对一切正整数，有2.分析 （
2、1）把代入递推式，可以得到和的关系式，变形可得.（2）鉴于递推式含有的特点，常用公式进行化异为同，得到和的递推式，构造等差数列，进而求出数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列的前项和，因此要求和、化简，因为是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结论.解析 （1）证明：由，得，即，所以.因为，所以.（2）因为 所以当时， 由-得，即.因为，所以，即.因为成等比数列，所以，即，解得.又由（1）知，所以，所以.综上知，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以.所以数列的通项公式为.（3）证明：由（2）知，所以.3. （2013江西文16）正项数列满足：.(1) 求数列
3、的通项公式； (2) 令，数列的前项和为3.分析 （1）根据已知的和的关系式进行因式分解，通过得到数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入的表达式，利用裂项法求出数列的前项和. 解析 （1）由，得.由于是正项数列，所以.（2）由，则，.4. (2013重庆文16）设数列满足：.（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为其前项和，且，求.4.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前项和公式直接运算求解.解析 （1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），所以公差，故.5. (2013湖南文19）设为数列的前项和，已知，2，.（1）求，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
4、 5.分析 根据消去得到关于的关系式，求其通项；利用错位相减法求前项和.解析 （1）令，得，即.因为，所以.令，得，解得.当时，由，即.于是数列是首项为.公比为的等比数列.因此，.所以的通项公式为.（2）由（1）知，.记数列的前项和为，于是， . ，得.从而.6.（2014陕西文4）根据如图所示框图，对大于的整数，输出的数列的通项公式是（ ）.A. B. C. D.7.（2014新课标文16）数列满足，则 .8.（2014江西文17）（本小题满分12分） 已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，都有，使得成等比数列.9.（2014大纲文17）（本小题满分10分）数列满足.
5、（1）设，证明是等差数列；（2）求的通项公式.10.（2014广东文19）（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足.(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 求证：对一切正整数，有.11.（2014湖南文16）（本小题满分12分）已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.12.（2015陕西文16）观察下列等式：据此规律，第个等式可为_.12.解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为，分母是到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.13.（2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列前项的和为 13.解析 解
6、法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐解法二：由题意得，故累加得，从而，当时，满足通项故，则有14.（2015安徽理18）已知数列是递增的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，求数列的前项和.14.解析 （1）因为是等比数列，且，所以.联立，又为递增的等比数列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.15.（2015北京文16）已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，；问：与数列的第几项相等？15.解析（1）依题意，设等差数列的公差为， 得，.数列的通项公式为.（2）等比数列中，设等比数列的公比为，.，得，则与数列
7、的第项相等.16.（2015福建文17）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值16.分析（1）利用基本量法可求得，进而求的通项公式；（2）求数列前项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，故可采取分组求和法求其前项和解析 （1）设等差数列的公差为由已知得，解得所以（2）由（1）可得，所以.17.（2015广东文19）设数列的前项和为，已知，且当时，（1）求的值；（2）求证：为等比数列；（3）求数列的通项公式17.解析（1）当时，即，解得.（2）因为（），所以（），即（），亦即，则.当时，满足上式.故数列是以为首项，公比为的等比数列.（3）由（2
8、）可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是.18.（2015湖北文19）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，.(1)求数列，的通项公式;(2)当时，记，求数列的前项和.18.解析 (1)由题意有，即.解得，或.故或.(2)由，知，故，于是， . 式式可得.故. 19.（2015山东文19）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.解析（1）设数列的公差为，令，得，即. 令，得，即.联立，解得，.所以.（2）由（1）知，得到，从而，得，所以.19.（2015四川文16）设数列（）
9、的前项和满足，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求. 19.解析（1）由已知，可得，即.则，.又因为，成等差数列，即.所以，解得.所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.（2）由（1）可得，所以.20.（2015天津文18）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，.（1）求和的通项公式；（2）设,求数列的前项和.20.分析（1）列出关于与的方程组，通过解方程组求出，即可确定通项；（2）用错位相减法求和.解析 （1）设的公比为，的公差为，由题意，由已知，有，消去得，解得，所以的通项公式为，的通项公式为.（2）由（1）有，设的前项和为，则，两式相减得，所以.
10、21.（2015浙江文17）已知数列和满足，.(1)求与;(2)记数列的前项和为，求.21.解析 (1)由题意知是等比数列，所以.当时，所以，所以，所以，又，所以.（或采用累乘法）(2)，所以，所以，所以.22.（2015重庆文16）已知等差数列满足，前3项和.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，求前项和. 22.解析（1）设的公差为，则由已知条件得，化简得，解得，故通项公式，（2）由（1）得，.设的公比为，则，从而，故的前项和.23.（2016浙江文17）设数列的前项和为.已知，.（1）求通项公式；（2）求数列的前项和.23.解析 （1）由题意得，则.因为，所以，得.又知，所以数列的通
11、项公式为，.（2）对于，当时，有.设，当时，有.设数列的前项和为，则，.当时，时也满足此式，所以.24.（2017全国3文17）设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.24.解析 （1）令 ，则有 ，即.当时， 得，即，得.当时，也符合，所以.（2）令， 所以.评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法.25.（2017山东文19）已知是各项均为
12、正数的等比数列，且，. （1）求数列的通项公式；（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.25.解析 （1）设数列的公比为，由题意知，.又，解得，所以.（2）由题意知，.又，所以.令，则，因此，又，两式相减得，所以.题型75 数列的求和1.（2015湖南文5）执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（ ）. A. B. C. D.1.解析 由题意，输出的为数列的前项和，即.故选B.2.（2015安徽理18）已知数列是递增的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求数列的前项和.2.解析 （1）因为是等比数列，且，所以.联立，又为递增的等比数列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.3. （2014安徽文18）（本小题满分12分）数列满足，.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.3. 解析 （I）由已知可得，即.所以是以为首项，1为公差的等差数列.（II）由（I）得，所以.从而.，.得.所以.评注 本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前项和，解题时利用题（I）提示对递推关系进行变形是关键.4.（2015福建文17）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值4.分析（1）利用基本量法可求得，进
