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1、第2节 数列的通项公式与求和题型74 数列通项公式的求解1. (2013安徽文19)设数列满足,且对任意,函数满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.1. 分析 (1)求导,代入,并对所得式子进行变形,从而证明数列是等差数列,再由题目条件求基本量,得通项公式.(2)将代入化简,利用分组求和法,结合等差、等比数列的前项和公式计算.解析 (1)由题设可得.对任意,即,故为等差数列.由,可得数列的公差,所以.(2)由知,.2.(2013广东文19)设各项均为正数的数列的前项和为,满足,,且构成等比数列(1) 证明:;(2) 求数列的通项公式;(3) 证明:对一切正整数,有2.分析 (
2、1)把代入递推式,可以得到和的关系式,变形可得.(2)鉴于递推式含有的特点,常用公式进行化异为同,得到和的递推式,构造等差数列,进而求出数列的通项.(3)要证的不等式的左边是一个新数列的前项和,因此要求和、化简,因为是一个分式,常常通过裂项相消法逐项相消,然后再通过放缩,得出结论.解析 (1)证明:由,得,即,所以.因为,所以.(2)因为 所以当时, 由-得,即.因为,所以,即.因为成等比数列,所以,即,解得.又由(1)知,所以,所以.综上知,所以数列是首项为,公差为的等差数列.所以.所以数列的通项公式为.(3)证明:由(2)知,所以.3. (2013江西文16)正项数列满足:.(1) 求数列
3、的通项公式; (2) 令,数列的前项和为3.分析 (1)根据已知的和的关系式进行因式分解,通过得到数列的通项公式;(2)把数列的通项公式代入的表达式,利用裂项法求出数列的前项和. 解析 (1)由,得.由于是正项数列,所以.(2)由,则,.4. (2013重庆文16)设数列满足:.(1)求的通项公式及前项和;(2)已知是等差数列,为其前项和,且,求.4.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前项和公式直接运算求解.解析 (1)由题设知是首项为,公比为的等比数列,所以.(2),所以公差,故.5. (2013湖南文19)设为数列的前项和,已知,2,.(1)求,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.
4、 5.分析 根据消去得到关于的关系式,求其通项;利用错位相减法求前项和.解析 (1)令,得,即.因为,所以.令,得,解得.当时,由,即.于是数列是首项为.公比为的等比数列.因此,.所以的通项公式为.(2)由(1)知,.记数列的前项和为,于是, . ,得.从而.6.(2014陕西文4)根据如图所示框图,对大于的整数,输出的数列的通项公式是( ).A. B. C. D.7.(2014新课标文16)数列满足,则 .8.(2014江西文17)(本小题满分12分) 已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式;(2)求证:对任意,都有,使得成等比数列.9.(2014大纲文17)(本小题满分10分)数列满足.
5、(1)设,证明是等差数列;(2)求的通项公式.10.(2014广东文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足.(1) 求的值;(2) 求数列的通项公式;(3) 求证:对一切正整数,有.11.(2014湖南文16)(本小题满分12分)已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.12.(2015陕西文16)观察下列等式:据此规律,第个等式可为_.12.解析 观察等式知,第个等式的左边有个数相加减,奇数项为正,偶数项为负,且分子为,分母是到的连续正整数,等式的右边是.故答案为.13.(2015江苏卷11)设数列满足,且,则数列前项的和为 13.解析 解
6、法一:可以考虑算出前项,但运算化简较繁琐解法二:由题意得,故累加得,从而,当时,满足通项故,则有14.(2015安徽理18)已知数列是递增的等比数列,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,求数列的前项和.14.解析 (1)因为是等比数列,且,所以.联立,又为递增的等比数列,即.解得或(舍),可得,得.所以.(2)由(1)可知,所以,所以.故.15.(2015北京文16)已知等差数列满足,.(1)求的通项公式;(2)设等比数列满足,;问:与数列的第几项相等?15.解析(1)依题意,设等差数列的公差为, 得,.数列的通项公式为.(2)等比数列中,设等比数列的公比为,.,得,则与数列
7、的第项相等.16.(2015福建文17)在等差数列中,(1)求数列的通项公式;(2)设,求的值16.分析(1)利用基本量法可求得,进而求的通项公式;(2)求数列前项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题,故可采取分组求和法求其前项和解析 (1)设等差数列的公差为由已知得,解得所以(2)由(1)可得,所以.17.(2015广东文19)设数列的前项和为,已知,且当时,(1)求的值;(2)求证:为等比数列;(3)求数列的通项公式17.解析(1)当时,即,解得.(2)因为(),所以(),即(),亦即,则.当时,满足上式.故数列是以为首项,公比为的等比数列.(3)由(2
8、)可得,即,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以,即,所以数列的通项公式是.18.(2015湖北文19)设等差数列的公差为,前项和为,等比数列的公比为,已知,.(1)求数列,的通项公式;(2)当时,记,求数列的前项和.18.解析 (1)由题意有,即.解得,或.故或.(2)由,知,故,于是, . 式式可得.故. 19.(2015山东文19)已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.解析(1)设数列的公差为,令,得,即. 令,得,即.联立,解得,.所以.(2)由(1)知,得到,从而,得,所以.19.(2015四川文16)设数列()
9、的前项和满足,且,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求. 19.解析(1)由已知,可得,即.则,.又因为,成等差数列,即.所以,解得.所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.故.(2)由(1)可得,所以.20.(2015天津文18)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.(1)求和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20.分析(1)列出关于与的方程组,通过解方程组求出,即可确定通项;(2)用错位相减法求和.解析 (1)设的公比为,的公差为,由题意,由已知,有,消去得,解得,所以的通项公式为,的通项公式为.(2)由(1)有,设的前项和为,则,两式相减得,所以.
10、21.(2015浙江文17)已知数列和满足,.(1)求与;(2)记数列的前项和为,求.21.解析 (1)由题意知是等比数列,所以.当时,所以,所以,所以,又,所以.(或采用累乘法)(2),所以,所以,所以.22.(2015重庆文16)已知等差数列满足,前3项和.(1)求的通项公式;(2)设等比数列满足,求前项和. 22.解析(1)设的公差为,则由已知条件得,化简得,解得,故通项公式,(2)由(1)得,.设的公比为,则,从而,故的前项和.23.(2016浙江文17)设数列的前项和为.已知,.(1)求通项公式;(2)求数列的前项和.23.解析 (1)由题意得,则.因为,所以,得.又知,所以数列的通
11、项公式为,.(2)对于,当时,有.设,当时,有.设数列的前项和为,则,.当时,时也满足此式,所以.24.(2017全国3文17)设数列满足.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.24.解析 (1)令 ,则有 ,即.当时, 得,即,得.当时,也符合,所以.(2)令, 所以.评注 本题具有一定的难度,第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想,将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题,没有难度,如果学生第一问求解时出现困难的话,可以用找规律的方法求出其通项,这样可以拿到第二问的分数,不失为一种灵活变通的处理方法.25.(2017山东文19)已知是各项均为
12、正数的等比数列,且,. (1)求数列的通项公式;(2)为各项非零的等差数列,其前项和,已知,求数列的前项和.25.解析 (1)设数列的公比为,由题意知,.又,解得,所以.(2)由题意知,.又,所以.令,则,因此,又,两式相减得,所以.题型75 数列的求和1.(2015湖南文5)执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出的( ). A. B. C. D.1.解析 由题意,输出的为数列的前项和,即.故选B.2.(2015安徽理18)已知数列是递增的等比数列,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,求数列的前项和.2.解析 (1)因为是等比数列,且,所以.联立,又为递增的等比数列,即.解得或(舍),可得,得.所以.(2)由(1)可知,所以,所以.故.3. (2014安徽文18)(本小题满分12分)数列满足,.(1)求证:数列是等差数列;(2)设,求数列的前项和.3. 解析 (I)由已知可得,即.所以是以为首项,1为公差的等差数列.(II)由(I)得,所以.从而.,.得.所以.评注 本题考查等差数列定义的应用,错位相减法求数列的前项和,解题时利用题(I)提示对递推关系进行变形是关键.4.(2015福建文17)在等差数列中,(1)求数列的通项公式;(2)设,求的值4.分析(1)利用基本量法可求得,进