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1、泛函与变分的基本概念1. 泛函：函数的函数y=f(x)函数J=Jy(x)泛函m解：根据能量守恒定理：2 v2二mgyv2 gyds7 ds 1 + y 2=vdt =dxdtvdv - J h(TT -T2)dS -e S 2 S Sc丄(T4 .T-1 T5)dST .qdST qdvr S 5 SSS2SrS2v式中：T -物体内部的温度；t -物体表面边界的温度(也是待求量)S3用变分原理导出热传导问题的有限元方程兀二 J 九兰6(匹)+ 空8(辽)+ 兰8(兰)；dV-f h(T -T )8TdS J H(T -T )8TdSv I dx dx By Bydz dz I S e s s
2、 S r s scr对流边界辐射边界-f q 8TdS- f q 8TdV = 0S2 S2 sv B2传导边界 刚性边界（1）离散求解域：将欲求的温度场域离散成n个单元，则热传导泛函的变分问 题成为：8兀=兰8兀 =0ee=1（2）单元内部的温度场：用对单元结点温度的插致函数来近似，即T = N T TeT单元内任意一点的温度Te单元结点温度向量N形函数向量（3）推导有限元方程：BT BTBT TB BBBxByBz _BxByBz _T T =将T二Nt Te代如上式，并设温度梯度矩阵：TT = ( H N T Te )T = ( B Te )T变分式中的第一项积分：工f T t 九8 T
3、 dVe=1e祝 00对各向异性材料，久为一个矩阵：九=0 X 0 y小00 Xz被积函数是标量，可以转置，即工J TTX8TdV= 工J 8 T t-X-T dVe=1 Vee=1 Ve二艺 8 Te J BT XBdV - Tee=1Ve8 Te T Ke Te Te=l式中：Ke = J BT X BdVT V ee变分式中的第二项积分：工! h(T - T )8TdS 二 工Js转置：h(T -NTTe)8(NTTe)dSe=1 Sce二工8 Te t J (Nh T - NhNtTe )dS Nh TdS - KeTeecSce=1=8 Te te=l8 Te T (Re - Ke
4、T e )cce=l若边界仅有对流换热，则8兀=8兀=0成为：e同理可将其他各项积分表示为对结点温度的变分求和形式 （略）Re - Ke Te )= 0 cc引入整个求解域上的结点温度向量T（设有n个结点，则T由n个元素组成）, 上式可写成8 Tt(K + K )T - R ) = 0Tcc式中：Kt、Kc、RC分别为Ke ,Ke ,Re 的扩展求和矩阵Tcc8Tt/0于是，我们得到了有限元方程组：K T = P式中：K为热传导问题的总刚度矩阵，当温度场同时存在对流边界和辐射边界时，K 二K + K + K TCrKt传导矩阵，Ke = j BTkBdV （各向同性材料）T VeKJ对流矩阵，
5、Ke = j NhNTdS， cScKJ辐射矩阵，Ke = j NHNTdSrScKJ和Kr 相当于力学问题中的弹性支承对总刚度矩阵的修正P为由边界条件产生的结点热流向量，相当于力学问题中的等效结点载荷向量，当温度场同时存在对流边界、辐射边界、传导边界及内部热源时，P = R + R + R + R crsBR -对流产生的结点热流向量， cRec=JSCN hT dSeRe = f NHTdSr S rrRe = f Nq dSsS 2s2R -辐射产生的结点热流向量， rR -传导产生的结点热流向量， sR -内部热源产生的结点热流向量，相当于力学问题中自重（体力）引起的结Bf点载荷RB
6、= J NqBdVB V Be4 热传导问题的单元分析（以三角形单元为例）设 j-k边为对流边界（1）单元结点温度向量Te - T t t ijk（2）单元内的温度场用单元结点温度的插值函数表示：T（x，y） = N （x，y）T + N （x，y）T + N （x，y）T = Nt Teiijj kk式中 Ni,Nj ,Nk 为三角形单元的形函数N (x, y)=i12A(a + bx + c y)i i iN (x, y) =(a + b x + c y)j2 Aj j jN (x, y)=k12A(a + b x + c y)k k kOT OTOT TO OOOxOyOz _OxOyO
7、z _T t =3）单元内任意一点的温度梯度Ot = ( H N T Te )T = ( B Te )TB = H N T = NijOxOxONONOyOyONONi-OzjOzON jONiN LkONkOxON kOyON kOz(4)热传导矩阵Ke = fTBt x BdVVee对各向同性材料，入为一常数，即材料的热传导系数;对各向异性材料，入为一个矩阵：九=kii kji kkijkjj kkikkjkk九x000九y000九z式中：九九k =(b2 + c2) , k = k =(bb + cc )4A i iijji 4A i j i j九=k =(bb + cc )ki 4 A i k i k=(b 2 + c 2)+ 竺4A j j 3=k =(b b + c c ) + hSi-ik 4A j k j k 6九)hs=(b 2 + c 2) + i4A k k 3iikikkjjkjkkkks =ih 对流系数（或放热系数、辐射系数）结点热流向量（单元结点载荷）Ri = ie2- hsTi_e2j-k 边为边界
