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1、课标要求1.了解数学归纳法的原理;2.能够用数学归纳法证明一些简单的命题.基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升学以致用随堂检测全达标目录索引基础落实必备知识全过关知识点数学归纳法在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤:(1)证明(n0N+)时命题成立;(2)假设时命题成立,证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以知道:对任何从n0开始的正整数n,命题成立.满足命题的最小的正整数的值 这种证明方法叫作.n=n0 n=k(kN+,kn0)n=k+1 数学归纳法 名师点睛1.数学归纳法是一种直接证明的方法.一般地,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项公式及前n
2、项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.2.步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键.假设“当n=k(kN+,kn0)时命题成立”起着已知的作用,证明“当n=k+1时命题也成立”的过程中,必须用到假设,再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n=k+1时命题也成立.而不能直接将n=k+1代入假设,此时n=k+1时命题成立也是假设,命题并没有得证.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)用数学归纳法证明问题时,假设可以不用.()(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k
3、到n=k+1,项数都增加了一项.()2.第一个值n0是命题成立的第一个正整数,n0的值都是1吗?3.与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法?提示n0只是满足命题的最小的正整数,但不一定是1.提示不能.重难探究能力素养全提升探究点探究点一一 用用数学归纳法证明等式数学归纳法证明等式这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,对于任何nN+,等式都成立.规律方法用数学归纳法证明等式的方法 提醒用数学归纳法证明等式的易错之处:(1)正确分析由n=k(kN+,kn0)到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;(2)在证明“当n=k+1时命题也成立”中一定要利
4、用假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.变式训练1用数学归纳法证明:14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,其中nN+.证明(1)当n=1时,左边=14=4,右边=122=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,那么,当n=k+1时,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+1)+12.这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,等式对任何正整数n都
5、成立.探究点探究点二二 归纳归纳猜想猜想证明证明S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.分析 根据递推关系式,依次求出n=1,2,3,4时的Sn与项数n的关系,归纳、猜想Sn与项数n的关系后利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明:这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由(1)和(2)可以断定,对任意正整数n,猜想均成立.规律方法“归纳猜想证明”的一般步骤 变式训练2(1)求出a2,a3并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.本节要点归纳1.知识清单:数学归纳法的两个步骤:(1)证明n=n0(n0N+)时命题成立;(2)假设n=k(kN+,kn0)时命题成立,
6、证明当n=k+1时命题也成立.2.方法归纳:利用两个步骤证明等式,归纳猜想证明.3.常见误区:验证n=n0时不能准确找到n0,在证明步骤(2)时没有利用假设.学以致用随堂检测全达标123451.用数学归纳法证明“1+a+a2+(a1,nN+)”.在验证n=1时,左端计算所得项为()A.1+aB.1+a+a2C.1+a+a2+a3D.1+a+a2+a3+a4C解析将n=1代入a2n+1得a3,故选C.123452.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是()A.假设当n=2k+1(kN+)时正确,再推当n=2k+3时正确B.假设当n=2k-1(kN+)时正确,再推当
7、n=2k+1时正确C.假设当n=k(kN+)时正确,再推当n=k+1时正确D.假设当nk(kN+)时正确,再推当n=k+2时正确B123453.用数学归纳法证明“1+2+22+2n-1=2n-1(nN+)”的过程如下:(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即1+2+22+2k-1=2k-1,那么,当n=k+1时,1+2+22+2k-1+2k=2k+1-1.这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,对于任何nN+,等式都成立.上述证明过程是否正确:.(填“正确”或“不正确”)不正确解析本题在由n=k成立,证n=k+1成立时,
8、应用了等比数列的求和公式,而未用上假设,这与数学归纳法的要求不符.123454.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an.依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为.123455.用数学归纳法证明:1+5+9+13+(4n-3)=2n2-n(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=212-1=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即1+5+9+13+(4k-3)=2k2-k.那么,当n=k+1时,1+5+9+13+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+4k+1=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,等式对一切nN+都成立.
