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1、网络构建归纳整合专题突破素养提升目录索引网络构建归纳整合专题突破素养提升专题一等差专题一等差(等比等比)数列的基本运算数列的基本运算等差(等比)数列的基本运算是对数列的基本知识的考查,求解的主要方法是利用通项公式与前n项和公式,建立方程(组),主要是提升数学运算的核心素养.【例1】在等比数列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.分析根据条件列方程(组)求an的公比及bn的首项与公差.解(1)设an的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,所以an=22n-1=2n.(2)由(
2、1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.规律方法等差(等比)数列的基本运算的求解策略在等差(等比)数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量,a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量.“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d(或q),an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量.当然在求解中若能运用等差(等比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代换法的运用.变式训练1已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求a1+a4+a7+a3n-2.解(1)
3、设an的公差为d(d0).由题意,得 =a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=-2或0(舍去).故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.从而专题二等差专题二等差(等比等比)数列的证明数列的证明等差(等比)数列的证明主要是将已知条件中的递推关系式通过变形转化为待证数列的相邻两项之间的关系式,然后结合等差(等比)数列的定义求解,主要是提升逻辑推理与数学运算的核心素养.【例2】已知数列an的前n项和为Sn,且满足2an=S
4、n+n(nN+).(1)求证:数列an+1是等比数列;(2)求数列an的通项公式与前n项和Sn.分析利用an=Sn-Sn-1(n2),将已知条件2an=Sn+n(nN+)变形后转化为关于an与an-1(n2)的递推关系式,然后转化为1+an与1+an-1(n2)的关系.(1)证明因为2an=Sn+n,所以2an-1=Sn-1+n-1(n2).-得,an=2an-1+1(n2).两边同时加1得an+1=2an-1+2(n2),所以 =2(n2),故数列an+1是公比为2的等比数列.(2)解由2an=Sn+n(nN+)可知2a1=a1+1,解得a1=1.因此数列an+1是公比为2,首项为a1+1=
5、2的等比数列.所以1+an=22n-1,即an=2n-1.将an=2n-1代入2an=Sn+n可得Sn=2n+1-2-n.规律方法1.判断和证明数列是等差(等比)数列的两种方法(1)定义法:对于正整数n,验证an+1-an(或 )为与正整数n无关的常数.(2)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN+,n2),则an为等差数列;若 =an-1an+1(nN+,n2且an0),则an为等比数列.2.递推关系式中含an,Sn问题的求解方法(1)结合待证结论,利用an=Sn-Sn-1(n2)消去Sn或an.(2)由已知条件求出通项公式后,可直接将an代入递推关系中求Sn,而不必使用求和公式.变
6、式训练2已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+1=4an+2(nN+),a1=1.(1)bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;(2)设cn=,证明数列cn是等差数列.又由题设,得1+a2=4+2,即a2=5,b1=a2-2a1=3.bn是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)得bn=32n-1,bn=an+1-2an=32n-1,专题三数列求和专题三数列求和数列的前n项和Sn是数列中最重要的概念之一.求数列的前n项和时,首先要根据数列的通项公式选择恰当的方法,要掌握数列求和方法的各种类型以及适用条件.数列求和主要是提升数学运算、逻辑推理的核心素养.【例3】已知数列an是公差不为
7、0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)若bn=an2n,求bn的前n项和Tn.分析利用等差数列的通项公式,结合等比中项的概念求出数列的公差,再根据数列bn=an2n的构成形式,利用错位相减法求和.解(1)数列an是公差不为0的等差数列,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列,(1+3d)2=(1+d)(1+7d),解得d=1或d=0(舍),an=1+(n-1)1=n.(2)bn=an2n=n2n,Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,-,得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=2n+1-
8、2-n2n+1=-(n-1)2n+1-2,Tn=(n-1)2n+1+2.规律方法数列求和的常用方法(1)公式法:直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和.(2)裂项相消法:将数列的各项分成两个式子的代数和,然后相加.(3)错位相减法:若数列an是等差数列,数列bn是等比数列,则数列anbn可用错位相减法求和.(4)倒序相加法:对于满足性质a1+an=a2+an-1=的数列可用倒序相加法求和.(5)分组求和法:将数列的每一项进行适当的拆分后再分组,可组成几个等差或等比数列,进行求和.(6)并项转化法:将数列的某些项合并后转化为特殊的数列求和.变式训练3(2021新高考,17)已知数列an满足a1
9、=1,an+1=(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列bn的通项公式;(2)求an的前20项和.解(1)b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以bn是首项为2,公差为3的等差数列,所以bn=2+(n-1)3=3n-1.(2)由(1)知,数列an的偶数项组成的数列是以3为公差的等差数列,由已知得an=an+1-1,n为奇数,所以数列an的奇数项组成的数列也是以3为公差的等差数列.设数列an的前n项和为Sn,则专题四求数列的通项公式专题四求数列的通项公
10、式数列的通项公式是数列的核心内容,求数列的通项公式要根据数列的递推关系式的特征而选择不同的方法.求数列的通项公式主要是提升数学运算的核心素养.角度1利用Sn与an的关系求数列的通项公式【例4】(1)已知数列an的前n项和Sn=3+2n,求an.(2)数列an的前n项和为Sn且a1=1,an+1=Sn,求an.解(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=5不适合上式.(2)Sn=3an+1,当n2时,Sn-1=3an.-得Sn-Sn-1=3an+1-3an,规律方法已知Sn求an或已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列an的通项公式a
11、n,可用公式an=求解.角度2应用累加(累乘、迭代)法求数列的通项公式【例5】已知在数列an中,a1=2,an=an-1+2n-1(n2),求数列an的通项公式.解(1)(方法1累加法)a1=2,an=an-1+2n-1(n2),an-an-1=2n-1(n2).an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)an=n2+1.(方法2迭代法)a1=2,an=an-1+2n-1(n2),an=an-1+2n-1=an-2+2(n-1)-1+2n-1=an-3+2(n-2)-1+2(n-1)-1+2n-1=2+
12、3+5+(2n-5)+(2n-3)+2n-1=n2+1,an=n2+1.规律方法形如an-an-1=f(n)(n2)的递推式,可用累加法求通项公式;形如 =f(n)(n2)的递推式,可用累乘法求通项公式.角度3构造法求数列的通项公式【例6】(1)已知a1=1,an+1=2an+1,证明数列an+1是等比数列,并求出数列an的通项公式.(2)已知在数列an中,a1=1,an+1=2an+3n,求数列an的通项公式.解(1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).由a1=1知a1+10,从而an+10.所以an+1是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=22n-1=2n,即an=2n-1.规律方法1.an+1=pan+t(p,tR,pt0,p1)型的数列求通项公式an,可以设为等比数列.2.an+1=ban+cm(b,cR,bc0,m,nN+)型的数列求通项公式an,可在等式两边同时除以cn+1,得到“bn+1=pbn+t(p,tR)”型的数列.角度4取倒数法求数列的通项公式 B规律方法an=(n2,nN+,k,m,pR,kmp0)型的数列求通项公式an,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.角度5待定系数法求数列的通项公式 解令an+2+an+1=(an+1+an),R,即an+2=(-)an+1+an,
