勾股定理的运用

《勾股定理的运用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理的运用（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、勾股定理中方程思想的使用方程思想是指：在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直 接用勾股定理来计算，则需要列方程解决。例题1.如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm, BC=10cm，将ABC折叠, 使点B与点A重合，折痕为DE,则CD的长为()分析：折叠问题是近几年来中考中的常见题型，解折叠问题关键抓住对称性，图中CD在R 仏ACD中，因为AC已知，要求CD，只需求AD,由折叠的对称性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC, 利用勾股定理即可解之。解：如右图所示，要使A, B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线。连结AD，则AD=(10-r)2-

2、.z = = BD。设CD = x,则AD=BD=10-x.在RtAACD中，由勾股定理，得故选D。点拨：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程， 使用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解。二勾股定理中分类讨论思想的使用分类讨论思想是指：在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能 的情况，这就需要依据一定的标准对问题实行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决。最后 综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破,再积零为整” 的数学方法。例题2.已知 ABC中，AB=20, AC=15, BC边上的高为12，

3、求 ABC的面积。分析：应分aabc是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之。解：人。是厶ABC的高，由勾股定理，得BD2 =AB2-AD2=202- 122 = 256, Z.BD =16CD2 =AC2一AD2=152 122 = 81, .CD = 9（1）若ZC为锐角，如图（1）所示，则 BC = BD + CD = 16 + 9 = 25（2）若ZC为钝角，如图（2）所示，则 BC = BD - CD = 16 - 9 = 7:札璽冷EC如=扫心=42即厶ABC的面积为150或42点拨：在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不惟一时，要 注意分情况实行讨论，避

4、免漏解。三.勾股定理中类比思想的使用类比思想是数学学习的重要发现式思维，它是一种学习方法，同时也是一种非常重要的创造 性思维。它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性，去推测这两个事物在其他方面也有 相同或类似的属性。从而大胆猜想得到结论（必要时要加以证明）。例题3.如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S、S、1 2S表示，则不难证明S =S +S3123（1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S、S、1 2S表示，那么S、S、S之间有什么关系？（不必证明）3123（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，

5、其面积分别用S】、S、S表示，请你确定S、S、S之间的关系并加以证明2 3123G$ABA$分析：从同学们熟悉的勾股定理入手，容易得证，中要求出等边三角形的面积。+解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则C2 = a2 + b2(1)S = S + S123(2) S1当=邑2,禺=总S3证明如下：显然，442点拨：本题从特殊到一般，从已知到未知，类比勾股定理的探究过程，其关键就在于理解勾 股定理当然，学习了相似三角形的知识后，还能够继续探究：分别以直角三角形ABC三边为边 向外作三个一般三角形，上述结论是否还成立呢？四.勾股定理中整体思想的使用整体思想是指：对于某

6、些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题 的某个部分或几个部分看成一个整体实行思考，就能开阔思路，较快解答题目。例题4.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别 是】、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则Si + S2 + S3 + S4=.分析：本题不可能求出S、S、S、S，但我们能够利用三角形全等和勾股定理分别求出S12341+ S、S +S、S +S2 2334解：易证 RtAABC 竺 RtACDE AB = CD又 VCD2 + DE2 = CE2,而 AB2 = S ,CE2 = 3,DE2 = S3

7、4AS + S = 3,同理 S + S = 1，S + S = 23 41223AS + S + S + S + S + S = 1 + 2 + 3 = 6，即S + S + S + S = 41223341234点拨：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，不但会 使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维水平。五勾股定理中数型结合思想的使用所谓数形结合思想，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结 合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅 速解题的目的。例题5.在一棵树的10m高处

8、有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只 爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？分析：根据题意画出图形，再在直角三角形中使用勾股定理构建方程求解。解：如右图所示，D为树顶，AB = 10m, C为池塘，AC = 20m设BD的长是xm，则树高(x + 10) mVAC + AB = BD + DC,.：DC = 20 + 10 - x.在 ACD 中ZA = 90,.AC2 + AD2 = DC2.202 + (x + 10) 2 =(30 -x) 2,解得 x = 5.X + 10 = 15，即树高 15 米点拨:勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点, 转化为三边“数”的关系。利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转 换成直角三角形模型，再利用方程来解决。数学思想方法是解决数学问题的灵魂。在使用勾股定理解题时，更应注重思想方法的使用， 以提升独立分析问题和解决问题的水平。