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1、数学概念教学的美丽转身 实施新课程以来，数学概念的教学出现了较大变化，较为明显的就是教材中很多概念不再像以前那样给出明确的定义，比如，“由三条线段围成的图形叫做三角形”“物体表面或者平面图形的大小，叫做他们的面积”等延续多年的“经典”定义在一些版本的教材中都不见了。这样的变化，并不是说概念不需要定义，也不是说概念的意义就可以模糊不清，更不是说概念教学可以随便教。那如何看待这样的变化呢？个人以为，小学阶段的好多概念表述都不是严格意义上的“定义”，数学概念的学习应该重在对概念本质的理解，而不应纠缠于文字的表述，更不应该变成对所谓文字定义的机械记忆。义务教育数学课程标准（2011年版）中指出：“数学
2、知识的学习，应注重学生对所学知识的理解”。那何以判断学生是“理解”了所学的数学知识呢？评价的方式方法固然有很多，但是，学生能对所学的知识进行生动的解释，应该是十分重要的。社会学家韦伯认为，“理解和解释并不相互排斥，恰恰相反，他们是相互关联、相互说明的。因此，必须把理解和解释联系起来考虑，理解是解释的前提，而解释也是一种理解。”基于这样的认识基础，我们提出，数学概念学习中要倡导和追求“解释性理解”。所谓“解释性理解”，就是学生在数学概念学习中，能够用熟悉的事实或事例对概念的本质进行描述或作出解释。这种理解不同于用数学的符号语言或用精准的文字来对概念进行定义，它具有丰富多样性，且带有个别化色彩，不
3、过，它所触及的却是概念的本质内涵。因而，“解释性理解”可以看作是数学课程改革背景下概念教学的一种境界。下面结合具体案例对概念教学中的“解释性理解”做一些分析。一、根植生活经验，利用语言“解释”概念数学来源于生活，小学阶段学习的数学概念大多都能找到生活原型。事实证明，学生在学习每一个数学概念时一般都能联系日常生活经验对概念的本质做出一番解释，讲出一些“道理”，关键是首先老师要有这样的意识，给学生提供“解释”的时机，并恰当地进行引导。比如三年级初次认识分数，教材中大多是从分东西入手：两个小朋友平均分4个苹果、2瓶矿泉水，每人分得物体的数量都是整数；继而探究两个人平均分1个蛋糕，每人分半个。半个也就
4、是二分之一，接着教学二分之一的写法，以及各部分的名称。这种教学思路，自然，流畅，但是学生真正的主体参与很少，对二分之一的意义理解比较单薄。我在教学这一内容时，采用开门见山直奔主题的方法。板书课题“认识分数”后，让学生说说平时有没有见过分数，自由地说几个分数，最后请他们以“二分之一”为例，联系生活说说它的意思。有学生说：“我有一个苹果，将它切成两半，其中的一半就是二分之一”；有学生说：“我用一百元买文具，花掉五十元，就是花掉了二分之一”；还有学生说：“一张纸，沿着中间一折，折痕的一边就是二分之一”这些说法虽然没有一个是标准的数学语言的分数意义的表述，但是，细细品读，其实每一位学生都讲的非常好，非
5、常到位，甚至于超越了教材设定的三年级初步认识分数的范围。接下来我拿出一张纸：“假设这张纸表示你们刚才提到的一个苹果啊、一百元啊、一张纸啊你能用它来表示出你所讲的二分之一吗？”待学生操做好了之后，师生共同梳理操作要点：平均分、一共分2份、涂上1份。到这时，再让学生设想这个“二分之一”的分数怎么写呢？并进一步让学生思考为什么写成1/2的形式好，这种形式是怎么把刚才大家提到的“平均分”“一共分2份”“涂上1份”等要点都简约地表示出来的？顺势介绍“分数线”“分母”“分子”等概念。接着让学生变换分子、分母得出不同的分数，并联系实际解释新变出的分数的含义，用图示来表示每个分数。这样的调整，将学生对分数的认
6、识根植在生活经验之中，通过语言讲述、图形描述概括地突出了“平均分”“平均分的总份数”“表示的份数”等本质，变化分子、分母产生新分数的过程则暗含着/的分数模型。教学流畅，学生也学得自主，灵活，深刻。二、借助直观操作，运用图示“解释”概念图形是重要的数学语言，也是学生理解数学概念的有力抓手。在图形的产生和绘制过程中，学生能更好地把握图形及其蕴含的概念本质。三年级学生认识“面积”，就其概念本质而言很好理解面的大小就是面积。但是，有些“很不起眼”的干扰恰恰会成为学生认识面积的障碍。比如，有的面“大”，有的面“小”与一个面自身有“大小”，这里都用到了大、小，但其意义不同，前者是指比大小，后者则是指这个面
7、的面积数值。再比如，面积和周长都是对同一个面的数量刻画，但面积是“面”，周长是“线”，二者属于两类数量。那如何让学生很好地理解面积的含义呢？我尝试了以下方法:在黑板上贴出一张方格纸，用红笔点出一个点，让学生将这个点平移成线，接着使用油漆刷将线再平移（刷过去）就产生面。然后让学生利用油漆刷在方格纸上刷一个与刚才图形大小不同的图形，并说说几个图形中，哪个面最大，哪个面最小，从而揭示出面总是有大有小的。接着数一数各个图形到底是多少方格，由此揭示出每个面的大小都可以用一个数量来刻画，这就是面积。然后再让学生分别刷出面积是15格、20格的图形。上述过程，依靠直观操作以及操作产生的图示，学生轻松地就理解了
8、面积的含义。再比如，对于轴对称图形概念的理解，教学中除了让学生剪出轴对称图形，在钉子板上拉出轴对称图形，还可以让学生从钢笔里滴一滴墨水在白纸上，然后沿着墨水将白纸对折后用手轻轻压一压，白纸上就会留下一个“怪模怪样”的对称图案。这也能促进学生对轴对称图形概念的本质理解。三、创造肢体语言，活用动作“解释”概念小学生喜欢“画”（画画），也喜欢“划”（比划），一些概念教学之后，我们可以让学生创造性地用画画、比划的方法来“说说”对概念的理解，对此，我们开展了数学绘画日记的尝试。不做不知道，一做还真吓一跳。学生的创造灵感还真是不简单。比如，学习了直角、钝角、锐角后，一位学生完成了这样一篇绘画日记。（右图为
9、日记中的“绘画”，日记内容如下）前几天，我放学回家后妈妈问我：“最近数学学的什么？”我告诉妈妈：“学的是直角、锐角、钝角。”妈妈又问：“你学得如何？”我开心地说：“把角从小到大排个队，锐角直角钝角。在我们的生活中，经常能观察到角的存在。我发现，人的四肢就能清楚地表现角。手臂伸直，两脚并拢，就是直角；身体不动，手臂往下斜，那就是锐角；手臂往上扬就是个大大的钝角。我和同学们可以互相学习着做这样的动作呢！”“不错，数学的乐趣在于发现”妈妈表扬我说。尽管这样的日记可能还比较“稚嫩”，其中的语言表述也不够精确。不过，这位孩子活用人体动作的比划对几种角的含义作出了生动的解释却是一种十分难得的创造，这种创造联系着生活和数学，深刻地影响着数学学习。不可否认，“解释性理解”也有着诸多缺陷，比如，不够抽象，不够严谨，比较“粗糙”。不过，由于它是一种内化性的理解，且贴近小学生学习特点，相信在数学课程改革“再出发”的今天，随着我们认识的逐步加深和实践的不断丰富，它一定会成为小学数学概念教学乃至整个小学数学教学的新境界。2
