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1、用函数观点看一元二次方程作者：佚名 文章来源：web 点击数： 14 更新时间：2013-11-21 21:57:00 -教学目标 知识与技能1总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根2会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想教学重点和难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解难点：二次函数与x轴交点的个
2、数与一元二次方程的根的个数之间的关系教学过程设计（一）问题的提出与解决问题 如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t?5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t?5t2所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元
3、二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值解：（1）解方程 1520t?5t2 t2?4t+3=0 t11，t23当球飞行1s和3s时，它的高度为 15m（2）解方程 2020t?5t2 t2?4t+40 t1t22当球飞行2s时，它的高度为 20m（3）解方程 20.520t?5t2 t2?4t+4.10因为(4)244.10所以方程无解球的飞行高度达不到 20.5m（4）解方程 020t?5t2 t2?4t0 t10，t24当球飞行0s和4s时，它的高度为 0m，即0s时球从地面飞出4s时球落回地面画出二次函数h=2
4、0t?5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案从上面可以看出二次函数与一元二次方程关系密切由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y?x2+4x的值为3，求自变量x的值可以解一元二次方程?x2+4x3(即x2?4x+30)反过来，解方程x2?4x+30又可以看作已知二次函数yx2?4x+3的值为0，求自变量x的值一般地，我们可以利用二次函数yax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c0（二）问题的讨论二次函数(1)yx2+x?2；(2) yx2?6x+9；(3) yx2?x+1的图象如下图所示（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公
5、共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题可以看出：（1）抛物线yx2+x?2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是?2，1；当x取公共点的横坐标时，函数的值是0由此得出方程x2+x?2 = 0的根是?2，1（2）抛物线yx2?6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3当x3时，函数的值是0由此得出方程x2?6x+9=0有两个相等的实数根3（3）抛物线yx2?x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2?x+1 = 0没有实数根总结：一般地，如果二次函数y =
6、 ax2+bx+c的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根（三）归纳一般地，从二次函数yax2+bx+c的图象可知，（1）如果抛物线yax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2+bx+c0的一个根（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的（四）小结总结本节的知识点
