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1、高三数学题型解析（3）19(07年重庆卷文)(12分) 如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。()求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；()若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交轴于点P,证明为定值，并求此定值。答案：解析：()设抛物线的标准方程为，则，从而,因此焦点的坐标为(2，0)又准线方程的一般式为,从而所求准线的方程为()解法一：如图(21)图作,垂足为C、D，则由抛物线的定义知记A、B的横坐标分别为则解得类似地有解得记直线m与AB的交点为E，则 所以故 解法二：设,直线AB的斜率为则直线方程为,将此式代入，得故记直线m与AB的交点为,则,故直线m的方程为令y=
2、0，得P的横坐标，故从而为定值。20(07年重庆卷理)(12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3，0），右准线的方程为：x=12.(1)求椭圆的方程：(2)在椭圆上任取三个不同点，使证明：为定值，并求此定值。答案：解析：()设椭圆方程为因焦点为F(3，0)，故半焦距c=3又右准线的方程为从而由已知因此，故所求椭圆方程为()记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性假设，且，又设点在上的射影为，因椭圆的离心率从而有解得因此而故为定值21(08年四川卷理)设椭圆的左、右焦点分别是，离心率，右准线上的两动点M、N，且(I)若，求的值；()当最小时，求证共线。答案：解析：数列和解几位列倒数第三和第二
3、，意料之中开始挤牙膏吧()由已知，由，又, 延长交于P，记右准线交轴于, 由平面知识易证，即(I)另解, 又联立,消去得整理得：, 解得 但解此方程组要考倒不少人。 (),当且仅当,且时，取等号，此时取最小值此时共线 ()另解：, 设的斜率分别为k ,由由当且仅当, 即,时取等号即当最小时，,此时共线22(07年四川卷文)(12分)设分别是椭圆的左、右焦点()若P是第一象限内该椭圆上的一点，且求点P的作标；()设过定点M(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角(其中O为作标原点),求直线的斜率k的取值范围答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数时积等基础知识，以及综合运作数
4、学知识解决问题及推理计算能力()易知, 设 则 又 联立, 解得 ,()显然x=0不满足题设条件可设的方程为设,联立,由得 又为锐角又 综可知 k的取值范围是23(09年淮安调研三)(14分)已知圆O的方程为，直线过点A(3，0)，且与圆O相切。 (1)求直线的方程； (2)设圆O与x轴交与P，Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与X轴垂直的直线为，直线PM交直线于点 ，直线QM交直线于点求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。答案：解析：(1)直线过点A(3，0)，且与圆相切，设直线 的方程为 ，即2分 则圆心O(0，0)到直线的距离为 ，解得直线 的方程为，即4分（2)对
5、于圆方程，令，得，即又直线过点A且与x轴垂直，直线方程为设 ，则直线PM方程为 解方程组 ，得，同理可得， 10分以为直径的圆的方程为又整理得12分若圆经过定点，只需令，从而有，解得圆总经过定点坐标为14分24已知函数()若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；()在函数的图象上是否存在不同两点，线段AB的中点的横坐标为，直线AB的斜率为k,有成立?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由答案：(I) 2分若函数在（0，+）上递增，则，对恒成立，即对恒成立，而当时，若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的综上的最小值为1 6分()假设存在，不妨设， 9分若，则即，即 (*) 1
6、2分令则在上是增函数， (*)式不成立，与假设矛盾因此，满足条件的不存在 16分25(09年湖南师大附中月考理)(13分）已知函数，数列满足：，(1)求证：(2)求证数列是等差数列：3)求证不等式：答案：解析：(1)由，得当时，即是单凋递增函数；当时，即是单调递减函数：且，即是极大值点，也是最大值点，当时取到等号(4分)(2)由，得， 故， 即数列是等筹数列，首项为，公差为-1 (8分)(3)由(2)可知所以又时，有，令则13分26(09年朝阳区二模理)(14分)己知函数（）求函数的最小值： ()求证：（)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”设函数，与是否存在“分界线”?若存在，求出k，b的值：若不存在，请说明理由答案：解析：(1)解：因为令，解得令，解得所以函数在上递减，上递增，所以的最小值为3分()证明：由()知函数在取得最小值，所以即，两端同时乘以，得，把换成，得当且仅当时等号成立由得，将上式相乘得9分 ()设 则所以当时，；当时，因此时,取得最小值0,则与的图象在处有公共点，设与存在“分界线”，方程为由,在恒成立则,在恒成立所以成立因此 下面证明成立设所以当时，当时，因此时,取得最大值0，则成立所以, 14分
