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1、第三讲用提公因式法把多项式 进行因式分解第三讲用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的 逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式 写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方 法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式 的确定方法是：( 1)当多项式有相同字母时， 取相同字母的最低 次幂。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式 分解 口诀： 找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。在提公因式时应注意以下四
2、点： 一、提公因式需完整 例 1 分解因式8x3 4x2 4x.错解： 8x3 4x2 4x 2x(4x2 2x 2). 二、提公因式后勿漏项 例2分解因式3a3 2a2 a. 错解： 3a3 2a2 a a(3a22a) .例3分解因式13ab2x6 39a3b2x5.错解：13ab2x6 39a3b2x513ab2x5(x 3a2).首项为负勿忘提四、整体代换可省力例 4 分解因式 3(x y)2(yx)3.错解：3(x y)2 (y x)3 3(x2 2xy y2) (y3 3yx2 3y2x x3)【分类解析】1. 把下列各式因式分解2 m2m 1mm 3|) a x abx acx
3、ax(2)3 2 2a(a b) 2a (b a) 2ab(b a)2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1239871368268凹1368456987136852198713683. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组5： 3y 32 ,求代数式(2xy)(2x 3y) 3x(2x y)的值。4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n , 3n 2 2n 2 3n 2n 一定是 10 的倍数。5、中考点拨：1。分解因式： 3x(x 2) (2 x)2分解因式：4q(1 p)3 2(p 1)26. 能力提升：例 1. 计算： 2000 20012001 2001 200020
4、00例 2. 已知： x2 bx c (b、c 为整数)是 x4 6x2 25及 3x4 4x2 28x 5 的公因式，求 b、c 的值。例 3. 设 x 为整数，试判断 10 5x x(x 2) 是质数还是合 数，请说明理由。例 41.求满足下列等式的 x 的值 5x2- 15x = 0 5x(x-2)-4(2-x) = 02. 若 a= -5,a+ b+ c= -5.2,求代数式 a2(-b-c)-3.2a(c + b)的值.7. 创新训练1 . 关于 x 的多项式 2x2 11x+ m 分解因式后有一个 因式是x 3,试求m的值。2.已知a为正整数，试判断a2 + a是奇数还是偶数, 请
5、说明理由。3. 已知关于 x 的二次三项式 3x2mx+ n 分解因式 的结果式(3x+ 2)( x 1),试求m, n的值。4若 x2 + 3x 2= 0,求 2x3 + 6x2 4x 的值5.当 a= 7, x = 4 时，求 5a2 (x + 6) 4a2 (x + 6) 的值，你能用哪几种方法求解？其中哪一种方法比较 好？6计算 2001X 20022002- 20012001X 20027利用提公因式法化简多项式：1 + x + x (1 + x)+ x (1 + x) 2+x (1 + x)20028. 已知三角形的三边长 满足 a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.试判断三角形
6、的形状。9. 有人说，无论 x 取何实数， 代数式 x 2+y2-10x+8y+45 的值总是正数。你的看法如何？请谈谈你的理由。【练习】1. 分解因式：(1) 为正整数)23 32 2 n2 n14m n 12m n 2mn( 2)a x abxacxn adx(1 n3) a(a b) 已知 x、y 都是正整数，且 x(x y) y(y x)y。 证明： 817 279 913能被 45 整除 5.化简：1 x x(1 x) x(1 x)2x(1 x) 1995，且当 x 0 时，求 2a2(b a)2 2ab(b a)22. 计算： ( 2)11 ( 2)10 的结果是()A. 2100
7、B. 210 C. 2D. 112 ，求 x、原式的值课后作业：1 下列各式得公因式是 a 得是（ ）A axay 5B3ma6ma2C4a210abDa22ama2 6xyz 3xy2 9x2y 的公因式是（ ）A 3x B3xz C3yz D 3xy3 （3a4b）（7a8b）（11a12b）（8b 7a） 分解因式的结果是（ ）A 8（7a8b）（ab） B2（7a8b）2C8（ 7a8b）（ ba）D 2（7a8b）4. 把（x y） 2（ y x）分解因式为（）A （ xy）（ xy1） B（ yx）（ xy1） C.（ y x）（ y x 1） D.（ y x）（ y x1）5.
8、下列各个分解因式中正确的是（）A . 10ab2c+ 6ac2 + 2ac= 2ac （5b2+ 3c） B.（ a b）3（ b a） 2=（ a b） 2 （a b + 1）C . x （b + c a） y （a b c） a+ b c=（ b + c a）（ x+ y 1 ）D（ a 2b）（ 3a+ b） 5（ 2b a）2=（ a 2b）（ 11b2a)6观察下列各式2a + b 和 a + b,5m (a b)和a+ b, 3(a+ b)和一a b,x2 y2和 x2和 y2。其中有公因式的是() A .B。C . D.三、请分解因式(1)x(x-y)-y(y-x)(2)-12x
9、3+ 12x2y- 3xy2(3)(x+y)2+ mx+ my(4)a(x- a)(x + y)2- b(x- a)2(x + y)(5) 15X( a b) 2 3y (b a)(6)( a 3) 2( 2a 6)( 7) 20a 15ax8)( m+ n)( p q)( m+ n)( q+ p)12.利用分解因式方法计算：2 ) 29X 1 9.99+72 X( 1 ) 39X 37-13X 3419.99+13X 19.99-19.99X 1413 先 化 简 ， 再 求 值 ：14已知 a+ b = 4, ab = 2,已知串联电路的电压 u = IR1+IR2+IR3，当Ri= 12
10、.9, 求多项式 4a2b+ 4ab2 4a 4b 的值。R2=18.5,R3=18.6,I=2.3 时,求 U 的值。四、好好想一想1 求满足下列等式的 x 的值 5x2- 15x = 0 5x(x- 2)- 4(2- x) = 02若 a=-5, a + b+ c= - 5.2 ,求代数式 a2(-b-c)-3.2a(c + b)的值.试题答案1. 分析与解答：4m2n3 12m3n2 2mn2)2mn( 2mn2 6m2n 1)2 n2 n 1 n n1 a x abx acx adxaxn 1(ax3 bx2 cx d)(3)原式 a(a b)3 2a2 (a b)2 2ab(a b)
11、22a(a b)2(a b) 2a 2ba(a b)2 (3a 3b)23a(a b)2 注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。 2. B3. x(x y) y(y x) 12(x y)(x y) 12X、y是正整数12 分解成 1 12， 2 6，3 4又x y与x y奇偶性相同，且X y x yXy2xy6x4y2说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解 来解决。4. 证明： 817 279 9132832726326 (9 3 1)326 52432324 45817 279 913能被 45 整除5. 解：逐次分解：原式 (1x)(1x) x(1 x)2x(1 x)1995(1x)2(1x)x(1 x)1995(1x)3(1x) x(1 x)4x(1 x)1995(11996x)当 x 0 时，原式 1
