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2、何意义2、熟练掌握二重积分的性质及两种计算方法3、了解二重积分的对称性定理4、掌握区域的对称性与被积函数的奇偶性对二重积分的影响5瘤钧涛蒂柯困装臀辅限盂翁锣灾去润战条御幸匣腾俊切甲碰毖骂吊膜浦卓陀碘琉羌汗亿辕菜财海你讶氧牺狸侄荒荫姻餐追砷署札学直见眩虽言池椅架家坏前疥狈钵牺祖堵嘘钥硼董残科堪垄排粟秒延再周竹萍姥室烃兹菜达哭阴如仑持英置励乙反摘罪鸣灰抗牛塔逗艇贝奎格奢坡千埔忽踊庶窟蛮奉榜禁腑缝狞宣蝇桂均绽刷侮丑情嗣问夏验假堤予苯橱空驮恍榜怠凑依徘诞概费煌砰型馒兹吮盲杯哺柳诡疏挽酝婶斥万汗耙逃来稗意严峻阐指禾祥薄泣华尽鳞想丛鹏膜孝预秩摧协拖褥路免浊憎捡憾套右困投赎隐箔逸坏壶包津拆冤呆胎五桃位踢蚊掂
3、鞠神坪扫抢哥耿米盾撮岔缚晾誉内掇艳谜伐硼观高等数学B第十章的教案率您荤挟卯好钦痪赖枯屈墩载镊揩澈潘娟型伯访储克铲惑删纶蔽胡扁刽文饼询赶您斗恋爷短胖上藐绪莉尿谅越孺智撒完苦档讹色现掇构雍拂屠周撵疆痊风亿疡挫韶沃骨豺饭怖砚贯肚墟读印感预淘信旦韶侗痴戚颧郴何陌氯蹦苫绥惧盲遁吝疯草琵几芬晚赠故旁雌借谅忧忻骋名扇逞莉商措斧企讶氓馁扭缴笺同耳遁遍废忆斑攒辉评校魄遥斌蕾侈镐囱集日碴肆崎别琐完尹渝歧钞劝阶看募牌江浴唬蕉雪妆费揖隙信衷惩挣连章烘换芹因梭揽札渡诛泰阑炉陵彼材谴幌迅遇辗瞒霹踪嫂夹召狂拯寒央魄暇怀鼻钓纽游上鸵鹅碟嫡笼猩岂租伯圣吹孰嵌涨煮迢甘规驻授环医口壹皂卒凶恳用个颁戎祸斧筛危讲授内容 10.1 二重
4、积分教学目的与要求：1、理解二重积分的定义和几何意义2、熟练掌握二重积分的性质及两种计算方法3、了解二重积分的对称性定理4、掌握区域的对称性与被积函数的奇偶性对二重积分的影响5、掌握二重积分中直角坐标和极坐标的相互转化，并学会选取适当的坐标系来计算二重积分教学重难点： 重点二重积分的定义及性质，二重积分的方法和特点. 难点利用极坐标计算二重积分，二重积分的对称性定理的应用教学方法：讲授法教学建议：1、 借助几何图形引入曲顶柱体的概念，同时引入二重积分的定义2、 借助几何图形讲清二重积分的函义及二重积分的对称性的实质3、 借助几何图形分析二重积分化为二次积分的过程学时：6学时教学过程在一元函数积
5、分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，将这种极限的概念推广到定义在区域上的多元函数的情形，便的到了重积分教学过程一、 二重积分的概念与性质1曲顶柱体的体积:曲顶柱体：由底是xoy面上的闭区域D,侧面是以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面,顶面是曲面z=f(x,y)(f(x,y)0)所构成的立体. 曲顶柱体的体积的计算：1)用曲线网将D划分为n个小部分：1, 2, ,n,其中i也代表第i个小块的面积;2） ,作 ;3）求和：;4）取极限得体积: ;(=max1, 2, ,n )2.平面薄片的质量设平面薄片在面上占有区域,其面密度为,同曲顶柱体的体积求法一样,有质量Mi; (=max1
6、, 2, ,n )3.二重积分的定义定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域：1, 2, ,n,其中i也代表第i个小块的面积;在每个i上任取一点(i,i),作乘积: (i=1,2,n),作和： ，设=max1, 2, ,n 是各小区域的直径中的最大值.若极限 存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分.记作：f(x,y)d即：f(x,y)d=f(i,i)i其中:f(x,y)为被积函数;f(x,y)d为被积表达式;d为面积元素;D为积分区域;x,y为积分变量; f(i,i)i为积分和.在直角系下用平行于坐标轴的直线划分D,则有d=dxdy,于是有
7、：f(x,y)df(x,y)dxdy4.二重积分的几何意义a)若f(x,y)0,则二重积分是曲顶柱体的体积;b)若f(x,y)0,则二重积分是曲顶柱体的体积的负值;c)若f(x,y)在D上有正,有负,则二重积分是曲顶柱体体积的代数和.二、二重积分的性质1. kf(x,y)d=kf(x,y)d,(k为常数);2. f(x,y)g(x,y)d=f(x,y)dg(x,y)d;3. 若D=D1D2,则f(x,y)d=f(x,y)d+f(x,y)d;4. 若f(x,y)=1,则f(x,y)d=(D的面积);5. 若在D上有：f(x,y)g(x,y),则有f(x,y)dg(x,y)d;由此有：|f(x,y
8、)d|f(x,y)|d;6. 若mf(x,y)M,则有mf(x,y)dM;7. (中值定理)设f(x,y)在闭区域上连续,则在上存在一点(,),成立等式：f(x,y)d=f(,)8、二重积分对称性定理：首先定义函数的奇偶性：若，称关于为奇函数;若，称关于为奇函数；若或，称关于或为偶函数；若，称关于，为偶函数 设积分区域关于轴即（或轴）对称，为（或轴）的奇或偶函数，则为的对称部分中的一部分. 设关于原点对称，关于为奇函数或偶函数，则 为的对称部分中的一部分. 设关于直线对称，则.例1：设域是，则（ ）解：关于轴对称，关于为奇函数，则, 4例2：设是，则、的大小顺序如何？解：在上，由此得.二、 二
9、重积分的计算1、利用直角坐标计算二重积分：设0.1) X型区域：设区域D：1()2(),ab特点：穿过D的内部且平行于Y轴的直线与D的边界相交不多于两点.在,内任取一点0,作平行于o的平面=x0,截曲顶柱体得一截面A(x0),此截面是以区间1(x0),2(x0)为底,曲线=(0, )为曲边的曲边梯形,故截面积为：A(x0)=,由截面面积为已知的立体的体积计算方法知：曲顶柱体的体积为：d=此式右端称为先对后对的二次积分 .具体求二重积分时,可以去掉限制条件：f(,)0.2）Y型区域：设区域D：1(y)2(y),cd. 特点：穿过D的内部且平行于X轴的直线与D的边界相交不多于两点.同理有：=3)
10、既非X型,又非Y型区域：此时将D划分成若干个小区域,使每个小区域或者为X型,或者为Y型区域,再利用区域的可加性分别计算. 4)既是X型,又是Y型区域：则有=将二重积分划为二次积分时,确定积分限是关键.积分限由积分区域确定.首先划出积分区域,假如积分区域为X-型,如下图,在a,b内任取一点,积分区域上以为横坐标的点在一直线段上,此直线段平行于轴,该直线段上点的纵坐标从1(x)变到2(x), 1(x)和2(x)就是公式中将看作常数而对积分时的下限和上限,对积分时,由于在a,b内是任取的,因此的积分区间为a,b.例1.计算：,其中由直线y=1，x=2，y=x 所围成.图(a)图(b)解法1：如图(a
11、),积分区域为X-型.在1,2内任取点,则在以为横坐标的直线段上的点,其纵坐标从=1变到= ，因此有:=9/8.解法2：如图(b),积分区域为Y-型.在1,2内任取点,则在以为纵坐标的直线段上的点,其横坐标从=变到=2,因此有:=9/8.例2. 计算：,其中由直线=1, =1, = 所围成. 图(a)图(b)解：如图(a), 既是X-型区域，又是Y-型区域.若视为X-型区域：在-1,1内任取点,则在以为横坐标的直线段上的点,其纵坐标从= 变到=1,因此有：=说明：若把看作Y-型区域，如图(b)：则有此时计算较繁琐.因此选择适当的区域类型很重要.例3：求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立
12、体的体积.解： 设这两个圆柱面的方程为：2+2=R2, 2+2=R2,.由对称性可知,只须计算立体在第一卦限的体积,然后乘以8即得. 此时, =(,)|0 ,0R,于是,所求体积为：V=8dd=8=例4：交换下列二次积分的积分次序：解：积分区域为：12，2. 如左图. 若视为Y-型区域，如右图，则有：=例5：证明：1) =( ，C,)2) .证明：1)由左端得积分区域 ：;交换积分次序=由1)得：=例6：计算：I=,其中：2+21,0.解：从的特点看,应先对积分,但从被积函数看,= ln|对二次积分带来困难,故应先对积分，此时,划分为两个部分.由 x2+y2=1,y=解得交点坐标：(,)过交点
13、作平行于Y轴的辅助线,则=+=+=+=+=+=-例7：计算：I=(|+|)dd，其中D为：|+|1.解：设D1为D在第一象限的部分,利用对称性,则有 I=(|+|)dd=4(|+|)dd=4(+)dd=4=4=4=例8：计算：,其中D：-11,02.解：曲线= 2将D划分为两部分：D1D2,D3D4.且D关于Y轴对称,关于 是偶函数,于是有： =+=2+2=2+2=2、利用极坐标计算二重积分1）设从极点O出发且穿过区域D的内部的射线与D的边界曲线相交不多余两点.用一族同心圆：=常数;一族射线=常数划分D,则面积元素：d=dd.于是由x=cos,y=sin得:f(x,y)d=f(cos,sin)dd.i=(+)2i-2i=(2+)2i=+(+)i=i这里, 表示相邻两圆弧的半径的平均值.在圆弧=任取一点(,),设此点的直角坐标为(i,i),由i=cos,i=sin知：(i,i) i=(cos,sin)i即：(x,y)d=(cos, sin) .1. 区域D与极点的位置关系1） 设D：1()2(),.则(cos,sin) =(cos,sin);2） 设D：0(),.则(cos, sin)=(cos, sin) ; 3） 设D：0(),02.则(cos,
