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1、自然数平方和公式的推导与证明 新课标12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 设：S=12+22+32+n2 另设：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2中的12+22+32+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以展开为(n2+2n
2、+12)+( n2+22n+22) +( n2+23n+32)+( n2+2nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 12+22+32+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+n).(1)第二：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52+ (2n-1)2+22+42+62+(2n)2，其中：22+42+62+(2n)2=22(12+22+32+n2)=4S.(2)12+32+52+(2n-1)2=(21-1)2+(22-1)2+(23-1) 2+ (2n-1) 2= (2212-221+1) +(2222-222
3、+1)2+(2232-223+1)2+ (22n2-22n+1)2=2212+2222+2232+22n2-221-222-223-22n+n=22(12+22+32+n2)-22 (1+2+3+n)+n=4S-4(1+2+3+n)+n.(3)由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+n)+n.(4)由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+n) =8S-4(1+2+3+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+n)+ 4(1+2+3+n)-n = nn2+n(1+n)+2(1+n)-1 = n(2n2+3n+1) = n(n+1)(2n+1) S= n(n+1)(2n+1
4、)/ 6亦即：S=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。 由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+n3.(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+13.(2)由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+n3+13 =(n+1)(n
5、2-n+1) + (n+1)(n-1)2-2(n-1)+22) + (n+1)(n-2)2-3(n-2)+32) + . . . + (n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)2(12+22+32+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-n (n-n+1) .(3)由12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：2S=(n+1)2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-nn+21+32+n(n-1) =(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+n)+(1+1)1+(2+1)2+(n-1+1)(n-1) =(n+1
6、)2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+(n-1)2+ (n-1) =(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+(n-1)2+1 +2+ (n-1) .(4)由12+22+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得： 2S=(n+1)3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2 =n2(n+1)2/2即S=13+23+33+n3= n2(n+1)2/4结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。自然数偶数立方和公式推导设S=23+43+6
7、3+(2n)3有S=23(13+23+33+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。自然数奇数立方和公式推导设S=13+23+33+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+(2n) 3+13+33+53+(2n-1)3 =2n2(n+1)2+13+33+53+(2n-1)3移项得：13+33+53+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2 =n2(2n2-1)结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。
