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1、经典例题透析类型一：基本不等式的应用条件1给出下面四个推导过程： ； ；。其中正确的推导为（ ）A. B. C. D.思路点拨：利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可解析：符合基本不等式的条件，故推导正确.虽然，但当或时，是负数，的推导是错误的.由不符合基本不等式的条件，是错误的.由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确.选D.总结升华：利用基本不等式求最大（小）值问题时，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”， 只有三者都满足了，才可以用基本不等式求函数的最值。正：中，,即各项均为正数；定：只有（定值）时
2、，才有最大值；只有（定值）时，才有最小值；等：只有时，中的等号才成立。举一反三：【变式1】.（2011浙江，16）设为实数，若则的最大值是_.【答案】【变式2】下列结论正确的是（ ）A当x0,且x1时， B当时，C. 当时，的最小值为2 D当时，无最大值【答案】B【变式3】下列命题中正确的个数是（ ）函数的最小值是1；的最小值是4；若，则有最大值1。 A0个 B1个 C2个 D3个【答案】C；正确【变式4】某班的同学在做下题时给出了以下三种方法，请判断这三种方法的正误。已知：且求的最小值.解法一：由得， ； +有 解法二：由得 故的最小值是解法三：由得 当且仅当即时取等号 时，的最小值为【答案
3、】解法一中，当且仅当且时等号成立，此时显然不满足，解法一错误.解法二中，两者右端均不是“常数”不满足基本不等式的最值条件，即以上两式等号不能同时成立，解法二错误.解法三正确.类型二：求最值2函数（1）若，则当x=_时，函数有最小值_；（2）若，则当x=_ 时，函数有最小值_；（3）若，则当x=_时，函数有最小值_；（4）若，则当x=_时，函数有最大值_.解析：（1） ，（当且仅当时取等号） 故当时，函数有最小值为4；（2）， 时，函数单调递减， 故当时，函数有最小值为；（3），时，函数单调递增， 故当时，函数有最小值为；（4）， （当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号）， 故当时，函数有最大
4、值为.总结升华：使用基本不等式，求两个数（式子）的最值时，一定要注意“一正二定三相等”，只有三者都满足了，才可以用基本不等式求函数的最值；若不能满足“一正二定三相等”这三个条件中的任何一个，不能用基本不等式求函数的最值，但可以利用导数求函数的最值。举一反三：【变式1】求下列函数的最大（或最小）值。（1）； （2）（3）；【答案】（1）由于 为正数，且为定值 （当且仅当时取等号） 当时，。（2）且为常数 （当且仅当时取等号） 当时，。（3）且 （当且仅时取等号）， 最小值为。【变式2】（2011江苏，8）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是 【答案】
5、4【变式3】已知函数，则函数的最大值是（ ）A2 B3 C4 D6【答案】 ， （当且仅当时取等号）【变式4】已知（1）当时,有最小值_；（2）当时,有最大值_.【答案】（1）当时,，有，（当且仅当时取等号）， 所以有最小值为7；（2）当时, ,，有 （当且仅当时取等号）， ，所以有最大值.3. 已知且，求的最小值.思路点拨：要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.解析：解法一：且， 当且仅当即时等号成立， 的最小值是16. 解法二：由，得 当且仅当即时，取等号，此时 的最小值是16.解法三：由得， 当且仅当时取等号，又 时，
6、的最小值是16.总结升华：本题给出了三种解法，均用到了基本不等式，且都对式子进行了变形配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察学会变形.注意解法2通过消元，化二元问题为一元问题，变量的范围是不可忽视的.举一反三：【变式1】已知且，求的最小值.【答案】解法一： 由得（当且仅当，时取等号） 两边平方得， 故当且仅当，时，的最小值为8.解法二：且 （当且仅当，时取等号）， 故当且仅当，时，的最小值为8.解法三：由且，得，且， 令，则 ， （当且仅当，时取等号） 故当且仅当，时，的最小值为8.【变式2】若正数满足则的取值范围是_.【答案】解法一：由于为正数， ，即 ，故（当且仅当
7、a=b=3时取等号）， 的取值范围是解法二：由，得 由b0,得a1 当且仅当即a=3时取等号，此时b=3, 的取值范围是.【变式3】若实数满足则的最小值是_.【答案】，即的最小值是6.4(1)已知求函数的最大值.(2)求函数的最小值.思路点拨：（1）为积的形式，根据基本不等式，通过函数变形，设法将和转化为常数， 即可求得最大值；（2）函数为和的形式，根据基本不等式，设法将积转化为常数，即可求得最小值.解析：（1） 当且仅当时，上式的等号成立，取得最大值.（2）函数 （当且仅当即时等号成立）.总结升华：使用基本不等式求三个数的最值时，为了凑“常数”，一般有两种方法：第一种求“积”的形式的最大值时
8、，常用拆方凑系数法；对于“和”式求最小值时，一般常用“平均裂项”的办法.举一反三：【变式1】设，求函数的最大值。【答案】，且为常数 当且仅当即时，上式的等号成立， 故时，.【变式2】设，求的最大值。【答案】由，函数式两边平方： ； 类型三：应用5已知，且，求证：思路点拨：注意到，能否考虑到三个式子相乘中每个式子中均可构成一个“2”而得到的结果，于是可对每一个式子进行分析，由可找到解决问题的途径。解析：，且 （1）同理可得： （2）（3）（当且仅当时，上列三式子取等号）三式相乘可得：即原命题成立。总结升华：1. 如何合理利用是解决问题的关键，在证明含有条件的不等式时，注意巧妙使用所给条 件是不容
9、忽视的。2. 在利用基本不等式进行综合法证明时，把多个均值不等式叠加得到复杂不等式的方法很常用。举一反三：【变式1】已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc【答案】b2 + c2 2bc , a 0 , a(b2 + c2) 2abc 同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 a(b2 + c2) + b(c2 + a2)
10、+ c(a2 + b2) 6abc6已知定点M(6,4)和射线: y=4x(x0)，试在射线上求一点N，使射线, 直线MN及x轴围成的三角形面积S最小，并求此最小面积。 解析：设N点的横坐标为a(a0)，则N(a, 4a).于是MN所在直线的方程为：(a-6)(y-4)=(4a-4)(x-6)令y=0, 则,x0, a1.设直线MN与x轴的交点为Q(), 当且仅当 即a=2时，(SOQN)min=40.因此，在射线上取点N(2,8)时，所围的三角形面积最小，最小面积为40。总结升华：对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起相应的能反
11、映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。【变式】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。【答案】 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则 依题意，即所求的a,b的值使y值最小。 据题意，有 4b+2ab+2a=60 (a0, b0) 得（0a30） 于是： 当时取等号，y达到最小值， 这时，a=6, a=-10 (舍去)， 将a=6代入 式得 b=3. 答：当a为6米，b为3米时，给沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小。解法二：令u=ab=，a2+(u-30)a+2u=0 =(u-30)2-8u0u2-68u+9000，u18或u50(舍). 当u=18时，
