《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式课件新人教版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式课件新人教版选择性必修第二册（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3.2等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式第第1课时等比数列的前课时等比数列的前n项和公式项和公式课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目 标 素素 养养1.探索并掌握等比数列的前探索并掌握等比数列的前n项和公式项和公式,提升逻辑推理素养提升逻辑推理素养.2.理解等比数列的通项公式与前理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系项和公式的关系,并能联用并能联用两个公式解决两个公式解决“知三求二知三求二”的问题的问题,提升数学运算素养提升数学运算素养.3.会用错位相减法求数列的前会用错位相减法求数列的前n项和项和,提升数学运算素养提升数学运
2、算素养.4.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n项和的性质的应用项和的性质的应用,提升逻辑推理和数提升逻辑推理和数学运算素养学运算素养.知知 识 概概 览课前基础认知1.等比数列的前等比数列的前n项和项和公式公式 微拓展微拓展1.方程思想方程思想.等比数列前等比数列前n项和公式中共涉及项和公式中共涉及a1,q,n,an及及Sn五个基本量五个基本量,已已知其中三个量可依据方程思想求另外两个量知其中三个量可依据方程思想求另外两个量,即即“知三求二知三求二”.2.函数思想函数思想.当公比当公比q1时时,等比数列的前等比数列的前n项和公式可变形为项和公式可变形为Sn=数列的前数列的前n项和项和Sn是由关
3、于是由关于n的一个指数式与一个常数的和构的一个指数式与一个常数的和构成的成的,且指数式的系数与常数项互为相反数且指数式的系数与常数项互为相反数.微微训练(1)已知已知等比数列等比数列an的各项都是正数的各项都是正数,若若a1=81,a5=16,则它的前则它的前5项和是项和是()A.179B.211C.243D.275答案答案:B解析解析:设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q,(2)在等比数列在等比数列an中中,若公比若公比q=-2,S5=44,则则a1的值为的值为()A.4B.-4C.2D.-2答案答案:A2.错位相减法错位相减法(1)推导等比数列前推导等比数列前n项和的方法项和的方法一
4、般地一般地,等比数列等比数列an的首项为的首项为a1,公比为公比为q,则数列则数列an的前的前n项和可写为项和可写为:Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,用公比用公比q乘乘的两边的两边,可得可得qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,由由-,得得(1-q)Sn=a1-a1qn,(2)我们把上述方法叫我们把上述方法叫错位相减法错位相减法,一般适用于数列一般适用于数列anbn前前n项和的求解项和的求解,其中其中an为等差数列为等差数列,bn为等比数列为等比数列,且且q1.微思考微思考 对于对于S64=1+2+4+8+262+263,用用2乘等式的两边可乘等式的两边可得得2S64=
5、2+4+8+262+263+264,对这两个式子作怎样的运算能对这两个式子作怎样的运算能解出解出S64?提示提示:比较两式易知比较两式易知,两式相减能消去同类项两式相减能消去同类项,解出解出S64,3.等比数列前等比数列前n项和的项和的性质性质 性质性质3若若an是公比为是公比为q的等比数列的等比数列,则则Sn+m=Sn+qnSm(n,mN*)性质性质4若数列若数列an不是常数列不是常数列,则数列则数列an是公比为是公比为q的等比数的等比数列列Sn=Aqn+B(q0,A+B=0,且且A,B为非零常数为非零常数)课堂重难突破一一 等比数列等比数列前前n项和公式的基本运算和公式的基本运算典例剖析典
6、例剖析1.在在等比数列等比数列an中中,公比为公比为q.(1)若若a1=1,a5=16,且且q0,求求S7;(2)若若Sn=189,q=2,an=96,求求a1和和n;解解:(1)an为等比数列为等比数列,且且a1=1,a5=16,a5=a1q4,16=q4.q=2或或q=-2(舍去舍去).规律总结规律总结 在在等比数列等比数列an的前的前n项和公式中共涉及五个量项和公式中共涉及五个量a1,q,an,n,Sn,其中其中a1与与q是最基本的元素是最基本的元素,当条件与结论间的联当条件与结论间的联系不明显时系不明显时,均可以用均可以用a1与与q表示表示an与与Sn,从而列方程组求解从而列方程组求解
7、,在在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用程思想与整体思想在数列中的具体应用.学以致用学以致用1.在等比数列在等比数列an中中,公比为公比为q.(1)若若S2=30,S3=155,求求Sn;(2)若若a1+a3=10,a4+a6=,求求S5;(3)若若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求求q.(3)因为因为a2an-1=a1an=128,所以所以a1,an是方程是方程x2-66x+128=0的两根的两根.二二 利用利用错位相减法求数列的前位相减法求数列的前n项和和典例剖析典例
8、剖析2.设设an是等差数列是等差数列,bn是等比数列是等比数列,公比大于公比大于0,已知已知a1=b1=2,b2=a2,b3=a2+4.(1)求求an和和bn的通项公式的通项公式;(1)解解:设设等差数列等差数列an的公差为的公差为d,等比数列等比数列bn的公比为的公比为q,则则q0.故故an=2+2(n-1)=2n,bn=22n-1=2n.互动探究互动探究(变条件变条件)本例题本例题(2)中设中设cn=anbn,求数列求数列cn的前的前n项和项和Sn.解解:由题意知由题意知cn=n2n,则则Sn=121+222+323+(n-2)2n-2+(n-1)2n-1+n2n,2Sn=122+223+
9、324+(n-2)2n-1+(n-1)2n+n2n+1,两式相减两式相减,得得-Sn=121+22+23+24+2n-1+2n-n2n+1规律总结规律总结 错位错位相减法的适用范围及注意事项相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围适用范围:它主要适用于它主要适用于an是等差数列是等差数列,bn是等比数列是等比数列,求数列求数列anbn的前的前n项和项和.(2)注意事项注意事项:利用错位相减法写出利用错位相减法写出Sn与与qSn的表达式时的表达式时,应应注意使两式错位对齐注意使两式错位对齐,以便于作差以便于作差,正确写出正确写出(1-q)Sn的表达式的表达式.利用此法时要注意讨论公比利用此法时要
10、注意讨论公比q是否等于是否等于1.学以致用学以致用2.已知数列已知数列an是首项、公比都为是首项、公比都为5的等比数列的等比数列,bn=anlog25an(nN*),求数列求数列bn的前的前n项和项和Sn.三三 等比数列等比数列的前的前n项和的性和的性质典例剖析典例剖析3.(1)已知等比数列已知等比数列an的前的前n项和为项和为Sn,S2=7,S6=91,则则S4等于等于()A.28B.32C.21D.28或或-21(2)在等比数列在等比数列an中中,公比公比q=3,S80=32,则则a2+a4+a6+a80=.(3)若数列若数列an是等比数列是等比数列,且其前且其前n项和为项和为Sn=3n+
11、1-2k,则实数则实数k等于等于.解析解析:(1)an为等比数列为等比数列,S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列也为等比数列,即即7,S4-7,91-S4成等比数列成等比数列,(S4-7)2=7(91-S4),解得解得S4=28或或S4=-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)S2,S4=28.(2)设设m=a2+a4+a6+a80,即即a2+a4+a6+a80=24.(3)Sn=3n+1-2k=33n-2k,且且an为等比数列为等比数列,规律总结规律总结 等比数列等比数列的前的前n项和的重要性质项和的重要性质(1)
12、等比数列等比数列an的前的前n项和项和Sn,满足满足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,成等比数列成等比数列(其中其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,均不为均不为0),这一性质可这一性质可直接应用直接应用.学以致用学以致用3.若等比数列若等比数列an的公比的公比为为 ,且且a1+a3+a5+a99=60,则数列则数列an的前的前100项和为项和为.答案答案:80解析解析:令令X=a1+a3+a5+a99=60,Y=a2+a4+a6+a100,则则S100=X+Y,由等比数列的前由等比数列的前n项和性质项和性质,4.已知等比数列已知等比数列an的各项都为正数的各项都为正数,S
13、n=2,S3n=14,求求S4n的值的值.解解:设设S2n=x,S4n=y,则则2,x-2,14-x,y-14成等比数列成等比数列,随堂训练1.在等比数列在等比数列an中中,若若a1=2,a2=1,则则S100等于等于()A.4-2100B.4+2100C.4-2-98D.4-2-100答案答案:C解析解析:设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q.答案答案:C 答案答案:D解析解析:Sn=2n-1,当当n2时时,an=Sn-Sn-1=2n-1.4.已知等比数列已知等比数列an共有共有2n项项,其和为其和为-240,且且(a1+a3+a2n-1)-(a2+a4+a2n)=80,则公比则公比q=.答案答案:2解析解析:由题意知由题意知S奇奇+S偶偶=-240,S奇奇-S偶偶=80,
