《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的应用课件新人教版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的应用课件新人教版选择性必修第二册（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3.2等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式第第2课时等比数列前课时等比数列前n项和项和的应用的应用课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目 标 素素 养养1.能运用等比数列的前能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题项和公式解决一些简单的实际问题,提升数学建模素养提升数学建模素养.2.掌握等差数列与等比数列的综合应用掌握等差数列与等比数列的综合应用,提升数学运算素养提升数学运算素养.3.掌握由递推关系构造等比数列的方法掌握由递推关系构造等比数列的方法,提升逻辑推理和数学提升逻辑推理和数学运算素养运算素养.知知 识 概概 览课前
2、基础认知1.等差数列、等比数列的判断等差数列、等比数列的判断(1)判断一个数列为等差数列的常用方法判断一个数列为等差数列的常用方法:定义法定义法an+1-an=d(常数常数)(nN*)an为等差数列为等差数列.等差中项法等差中项法2an+1=an+an+2(nN*)an为等差数列为等差数列.通项公式法通项公式法an为为n的的一次一次函数函数an为等差数列为等差数列.前前n项和法项和法Sn是是An2+Bn的形式的形式an为等差数列为等差数列.(2)判断一个数列是等比数列的常用方法判断一个数列是等比数列的常用方法:定义法定义法通项公式法通项公式法an=a1qn-1(a10且且q0)an为等比数列为
3、等比数列.前前n项和法项和法(公比公比q1时时)Sn=Aqn+B(A0,B0,q0,q1,且且A+B=0)an为等比数列为等比数列.2.等差数列、等比数列的前等差数列、等比数列的前n项和公式项和公式(1)若若an为等差数列为等差数列,公差为公差为d,前前n项和为项和为Sn,微微训练 已知已知数列数列an的通项公式是的通项公式是an=2n,Sn是数列是数列an的前的前n项和项和,则则S10等于等于()A.10B.210C.210-2D.211-2答案答案:D3.构造等比数列构造等比数列已知数列已知数列an满足递推公式满足递推公式an+1=pan+q(p,q为非零常数为非零常数,且且p1)的形式的
4、形式,可构造可构造an+A为等比数列为等比数列,且公比为且公比为p,即即an+1+A=p(an+A)课堂重难突破一一 等差数列等差数列和等比数列的和等比数列的综合合应用用典例剖析典例剖析1.已知已知an是首项为是首项为19,公差为公差为-2的等差数列的等差数列,Sn为为an的前的前n项和项和.(1)求通项求通项an及及Sn;(2)设设bn-an是首项为是首项为1,公比为公比为3的等比数列的等比数列,求数列求数列bn的通的通项公式及其前项公式及其前n项和项和Tn.解解:(1)因为因为an是首项是首项a1=19,公差公差d=-2的等差数列的等差数列,所以所以an=a1+(n-1)d=19-2(n-
5、1)=-2n+21,规律规律总结总结 分组分组求和法的适用范围及处理方法求和法的适用范围及处理方法(1)适用范围适用范围:它主要适用于它主要适用于an是等差数列是等差数列,bn是等比数列是等比数列,求数列求数列anbn的前的前n项和项和.(2)处理方法处理方法:把数列的项重新组合把数列的项重新组合,使其分别构成等差数列使其分别构成等差数列或等比数列或等比数列,然后利用等差、等比数列的前然后利用等差、等比数列的前n项和公式求解项和公式求解.学以致用学以致用1.已知等差数列已知等差数列an,a2=9,a5=21.(1)求求an的通项公式的通项公式;(3)设设cn=an+bn,求数列求数列cn的前的
6、前n项和项和Sn.(1)解解:设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1,公差为公差为d,所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an=4n+1.所以所以bn是首项为是首项为b1=25,公比为公比为q=24的等比数列的等比数列.(3)解解:因为因为cn=(4n+1)+24n+1,所以所以Sn=(5+25)+(9+29)+(4n+1+24n+1)=(5+9+4n+1)+(25+29+24n+1)二二 等比数列等比数列前前n项和公式的和公式的实际应用用典例剖析典例剖析2.小华准备购买一部售价为小华准备购买一部售价为5 000元的手机元的手机,采用分期付款方采用分期付款方式式,并在一年内将欠款
7、全部付清并在一年内将欠款全部付清.商家提出的付款方式为商家提出的付款方式为:购买购买2个月后第个月后第1次付款次付款,再过再过2个月后第个月后第2次付款次付款购买购买12个月个月后第后第6次付款次付款,每次付款金额相同每次付款金额相同,约定月利率为约定月利率为0.8%,每月利每月利息按复利计算息按复利计算,则小华每期付款金额是多少则小华每期付款金额是多少?(参考数据参考数据:1.008121.10)解解:(方法一方法一)设小华每期付款设小华每期付款x元元,第第k个月末付款后的欠款本个月末付款后的欠款本利为利为Ak元元,则则A2=5 000(1+0.008)2-x=5 0001.0082-x,A
8、4=A2(1+0.008)2-x=5 0001.0084-1.0082x-x,A12=5 0001.00812-(1.00810+1.0088+1.0082+1)x=0,故小华每期付款金额约为故小华每期付款金额约为883.5元元.(方法二方法二)设小华每期付款设小华每期付款x元元,到第到第k个月时已付款及其利息个月时已付款及其利息为为Ak元元,则则A2=x;A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082);A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084);A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).因为年底付清欠款
9、因为年底付清欠款,所以所以A12=5 0001.00812,即即5 0001.00812=x(1+1.0082+1.0084+1.00810),故小华每期付款金额约为故小华每期付款金额约为883.5元元.规律总结规律总结 解解数列应用题的具体方法及步骤数列应用题的具体方法及步骤(1)认真审题认真审题,准确理解题意准确理解题意,达到如下要求达到如下要求:明确问题属于哪类应用问题明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是即明确是等差数列问题还是等比数列问题等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题还是含有递推关系的数列问题,是求是求an,还是求还是求Sn,特别要注意弄清项数是多少特别要注意弄
10、清项数是多少.弄清题目中主要的已知事项弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系抓住数量关系,联想数学知识和数学方法联想数学知识和数学方法,恰当引入参数恰当引入参数变量变量,将文字语言翻译成数学语言将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表将数量关系用数学式子表达达.(3)将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来将已知与所求联系起来,列列出满足题意的数学关系式出满足题意的数学关系式.学以致用学以致用2.已知一件家用电器的现价是已知一件家用电器的现价是2 000元元,如果实行分期付款如果实行分期付款,一年后还清一年后还清,购买后一个月第一次付款购买后一个月第
11、一次付款,以后每月付款一次以后每月付款一次,每每次付款数相同次付款数相同,共付共付12次次,月利率为月利率为0.7%,并按复利计算并按复利计算,那么那么每期应付款每期应付款元元.(参考数据参考数据:1.007111.080,1.007121.087,1.07112.105,1.07122.252)答案答案:175解析解析:设每期应付款设每期应付款x元元,第第n期付款后欠款期付款后欠款An元元,则则A1=2 000(1+0.007)-x=2 0001.007-x,A2=(2 0001.007-x)1.007-x=2 0001.0072-1.007x-x,A12=2 0001.00712-(1.0
12、0711+1.00710+1)x,即每期应付款即每期应付款175元元.三三 构造构造等比数列求和等比数列求和典例剖析典例剖析3.已知数列已知数列an,设关于设关于x的一元二次方程的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(nN*)有两个根有两个根,且满足且满足6-2+6=3.(1)写出一个递推公式写出一个递推公式,表示表示an+1与与an之间的关系之间的关系;(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成an+1-p=q(an-p)的形式的形式,其中其中p,q为常数为常数;(3)若若a1=,求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.规律总结规律总结 形形如如an+1=pan+q(p,q为常
13、数为常数)形式的递推公式形式的递推公式,可用可用构造等比数列法构造等比数列法,即变形为即变形为an+1+x=p(an+x),构造数列构造数列an+x是是以以p为公比的等比数列为公比的等比数列,进而求得数列进而求得数列an的通项公式及前的通项公式及前n项项和和.学以致用学以致用(1)数列数列bn的通项公式的通项公式;(2)数列数列bn的前的前n项和项和Sn.随堂训练1.已知数列已知数列an中中,a1=1,an+1=2an+3,则则an的通项公式为的通项公式为()A.an=2n-1B.an=2n-1-3C.an=2n+1D.an=2n+1-3答案答案:D解析解析:因为因为an+1=2an+3,所以
14、所以an+1+3=2(an+3).又又a1+3=4,所以数列所以数列an+3是以是以4为首项为首项,2为公比的等比数列为公比的等比数列,所以所以an+3=42n-1=2n+1,所以所以an=2n+1-3.2.已知已知an为等比数列为等比数列,bn为等差数列为等差数列,且且b1=0,cn=an+bn,若数若数列列cn是是1,1,2,则数列则数列cn的前的前10项和为项和为()A.978B.557C.467D.979答案答案:A解析解析:由题意可得由题意可得a1=1,设设数列数列an的公比为的公比为q,数列数列bn的公差为的公差为d,q0,q=2,d=-1.an=2n-1,bn=(n-1)(-1)
15、=1-n,cn=2n-1+1-n.设数列设数列cn的前的前n项和为项和为Sn,则则S10=20+0+21-1+29-93.庄子庄子天下篇中有一句话天下篇中有一句话:“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不万世不竭竭”.若经过若经过n天天,该该“棰棰”剩余的长度为剩余的长度为an(单位单位:尺尺),则则an与与n的关的关系为系为()答案答案:C解析解析:由题得每天取的由题得每天取的木木棰棰长度长度组成一个等比数列组成一个等比数列,4.某住宅小区计划植树不少于某住宅小区计划植树不少于100棵棵,若第一天植若第一天植2棵棵,以后每以后每天植树的棵数是前一天的天植树的棵数是前一天的2倍倍,则需要的最少天数则需要的最少天数n(nN*)等等于于.答案答案:6解析解析:由题意知由题意知,第第n天植树天植树2n棵棵,则则前前n天共植树天共植树2+22+2n=(2n+1-2)棵棵,令令2n+1-2100,则则2n+1102,因为因为26=64,27=128,且且2n+1是递增数列是递增数列,所以所以n6,即即n的最小值为的最小值为6.5.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,nN*,a3=5,S10=100.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设bn=+2n,求数列求数列bn的前的前n项和项和Tn.
