《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教版选择性必修第二册（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1数列的数列的概念概念第第1课时数列的概念与简单表示法课时数列的概念与简单表示法课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目 标 素素 养养1.理解数列及其有关概念理解数列及其有关概念,提升数学抽象核心素养提升数学抽象核心素养.2.理解数列的通项公式理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项并会用通项公式写出数列的任意一项,提升逻辑推理和数学运算核心素养提升逻辑推理和数学运算核心素养.3.对于比较简单的数列对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公会根据其前几项写出它的一个通项公式式,提升逻辑推理核心素养提升逻辑推理核心素养.
2、4.理解数列是一种特殊的函数理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系理解数列与函数的关系.知知 识 概概 览课前基础认知1.数列及其有关概念数列及其有关概念一般地一般地,我们把按照我们把按照确定的确定的顺序排列的一列数称为数列顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的项项.数列的第一个位数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第置上的数叫做这个数列的第1项项,常用符号常用符号a1表示表示,第二个位置第二个位置上的数叫做这个数列的第上的数叫做这个数列的第2项项,用用a2表示表示第第n个位置上的数个位置上的数叫做这个数列的第叫做这个数列的第n项项,用用
3、an表示表示.其中第其中第1项也叫做项也叫做首首项项.数列的一般形式是数列的一般形式是a1,a2,an,简记为简记为an.微思考微思考1 数列数列1,2,3,4,5和数列和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗是同一个数列吗?提示提示:不是不是,因为顺序不同因为顺序不同.2.数列与函数的关系数列与函数的关系数列数列an是从正整数集是从正整数集N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,n)到实数到实数集集R的函数的函数,其自变量是序号其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第对应的函数值是数列的第n项项an,记为记为an=f(n).与其他函数一样与其他函数一样,数列也可以用表格和图数列也可以用表格和
4、图象来表示象来表示.微思考微思考2 数列数列an=f(n)的图象与函数的图象与函数y=f(x)的图象有什么区别的图象有什么区别?提示提示:数列数列an的图象是一系列孤立的点的图象是一系列孤立的点,函数函数y=f(x)的图象的图象是连续的曲线或折线等是连续的曲线或折线等.3.数列的数列的分类分类 4.通项公式通项公式如果数列如果数列an的第的第n项项an与它的序号与它的序号n之间的对应关系可以之间的对应关系可以用一个式子来表示用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列那么这个式子叫做这个数列的的 通项公式通项公式 .微微思考思考3 是不是是不是所有数列都能写出通项公式所有数列都能写出通项公式?若
5、数列有通项若数列有通项公式公式,则通项公式的表达式是唯一的吗则通项公式的表达式是唯一的吗?提示提示:不是所有数列都能写出通项公式不是所有数列都能写出通项公式,若数列有通项公式若数列有通项公式,则通项公式的表达式不一定唯一则通项公式的表达式不一定唯一.微微训练1下列叙述正确的是下列叙述正确的是()A.数列数列1,3,5,7与与7,5,3,1是相同的数列是相同的数列B.数列数列0,1,2,3,可以表示为可以表示为nC.数列数列0,1,0,1,是常数列是常数列答案答案:D 微微训练2(1)数列数列2,3,4,5,的一个通项公式为的一个通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=n+2D.an
6、=2n解析解析:(1)这个数列的前这个数列的前4项都比序号大项都比序号大1,故故它的一个通项公式为它的一个通项公式为an=n+1.课堂重难突破一一 数列数列的概念及分的概念及分类典例剖析典例剖析1.下列数列既是无穷数列又是递增数列的是下列数列既是无穷数列又是递增数列的是()答案答案:C 规律总结规律总结 处理处理数列分类问题的技巧数列分类问题的技巧(1)有穷数列与无穷数列有穷数列与无穷数列判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列的只需观察数列的项数项数.若项数有限若项数有限,则该数列是有穷数列则该数列是有穷数列,否则为无穷数列否则为无穷数列.(2)
7、递增数列与递减数列递增数列与递减数列观察从第观察从第2项起项起,数列中每一项与其前一项的大小关系数列中每一项与其前一项的大小关系,依依据定义进行判断据定义进行判断;由数列的图象可知由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个只要这些点每个比它前面相邻的一个高高(低低),则图象呈上升则图象呈上升(下降下降)趋势趋势,即为递增即为递增(减减)数列数列.学以致用学以致用1.下列数列哪些是有穷数列下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列哪些是无穷数列?哪些是递增哪些是递增数列数列?哪些是递减数列哪些是递减数列?哪些是常数列哪些是常数列?(1)2 014,2 016,2 018,2 020,2 02
8、2;(4)9,9,9,9,9,9.解解:(1)(4)是有穷数列是有穷数列;(2)(3)是无穷数列是无穷数列;(1)(2)是递增数列是递增数列;(3)是递减数列是递减数列;(4)是常数列是常数列.二二 由由数列的前几数列的前几项写出数列的一个通写出数列的一个通项公式公式典例剖析典例剖析2.已知数列的前几项已知数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式.(1)1,3,7,15,31,;(2)4,44,444,4 444,;(5)1,2,1,2,1,2,.解解:(1)观察发现各项分别加上观察发现各项分别加上1后后,数列变为数列变为2,4,8,16,32,新新数列的通项公式为数
9、列的通项公式为2n,故原数列的通项公式为故原数列的通项公式为an=2n-1.(3)所给数列有这样几个特点所给数列有这样几个特点:符号正、负相间符号正、负相间;整数部分构成奇数列整数部分构成奇数列;分数部分的分母为从分数部分的分母为从2开始的自然数的平方开始的自然数的平方;分数部分的分子依次大分数部分的分子依次大1.由所给的几项可得数列的通项公式为由所给的几项可得数列的通项公式为规律总结规律总结 1.根据数列的前几项写通项公式根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊体现了由特殊到一般的规律到一般的规律.解题时解题时,一定要注意观察项与项数的关系和相一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系邻项
10、间的关系,具体思路为具体思路为:(1)先统一项的结构先统一项的结构,如都化成分数、根式等如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分探索变化部分的规律与对应序号间的关系的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值可先观察其绝对值,再用再用(-1)k处处理正、负号理正、负号.(4)对于周期出现的数列对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形式考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数的知识解答或者利用周期函数的知识解答.2.熟记一些基本数列的通项公式熟记一些基本数列的通
11、项公式,如如:(1)数列数列-1,1,-1,1,的通项公式是的通项公式是an=(-1)n.(2)数列数列1,2,3,4,的通项公式是的通项公式是an=n.(3)数列数列1,3,5,7,的通项公式是的通项公式是an=2n-1.(4)数列数列2,4,6,8,的通项公式是的通项公式是an=2n.(5)数列数列1,2,4,8,的通项公式是的通项公式是an=2n-1.(6)数列数列1,4,9,16,的通项公式是的通项公式是an=n2.学以致用学以致用2.写出下列各数列的一个通项公式写出下列各数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9 999,;(2)1,-3,5,-7,9,;(4)3,5,9,17,
12、33,.解解:(1)各项加各项加1后后,变为变为10,100,1 000,10 000,新数列的通项新数列的通项公式为公式为10n,可得原数列的一个通项公式为可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(2)数列各项的绝对值为数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,是连续的正奇数是连续的正奇数,其通项其通项公式为公式为2n-1,考虑到考虑到(-1)n+1具有转换正、负号的作用具有转换正、负号的作用,故数列的故数列的一个通项公式为一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(4)3可看作可看作21+1,5可看作可看作22+1,9可看作可看作23+1,17可看作可看作24+1,33可看作可看作2
13、5+1,故原数列的一个通项公式为故原数列的一个通项公式为an=2n+1.三三 数列数列的通的通项公式的公式的应用用典例剖析典例剖析 3.已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第写出此数列的第4项和第项和第6项项;(2)-49是不是该数列的一项是不是该数列的一项?如果是如果是,是哪一项是哪一项?68是不是该是不是该数列的一项呢数列的一项呢?解解:(1)a4=342-284=-64,a6=362-286=-60.互动探究互动探究1.(变结论变结论)若本例中的条件不变若本例中的条件不变,(1)试写出该数列的第试写出该数列的第3项和第项和第8项项;(2)2
14、0是不是该数列的一项是不是该数列的一项?若是若是,是哪一项是哪一项?解解:(1)因为因为an=3n2-28n,所以所以a3=332-283=-57,a8=382-288=-32.(2)令令3n2-28n=20,解得解得n=10或或n=-(舍去舍去),故故20是该数列的第是该数列的第10项项.2.(变条件变条件,变结论变结论)若将例题中的若将例题中的“an=3n2-28n”变为变为“an=n2+2n-5”,试判断数列试判断数列an的单调性的单调性.解解:an=n2+2n-5,an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5)=n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5=2n+3
15、.nN*,2n+30,an+1an.数列数列an是递增数列是递增数列.规律总结规律总结 1.由通项公式写出数列的指定项由通项公式写出数列的指定项,主要是对主要是对n进行进行取值取值,代入通项公式代入通项公式,相当于函数中相当于函数中,已知函数解析式和自变量已知函数解析式和自变量的值求函数值的值求函数值.2.判断一个数是否为该数列中的项判断一个数是否为该数列中的项,可令通项公式等于这个可令通项公式等于这个数求方程的根数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项为数列中的项.3.在用函数的有关知识解决数列问题时在用函数的有关知识解决数列问题
16、时,要注意它的定义域要注意它的定义域是是N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3,n)这一约束条件这一约束条件.学以致用学以致用3.已知数列已知数列an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的的2倍倍.(1)求这个数列的第求这个数列的第4项与第项与第25项项;(2)253和和153是不是这个数列的项是不是这个数列的项?如果是如果是,是第几项是第几项?解得解得n=121,故故253是这个数列的第是这个数列的第121项项.随堂训练1.下列数列既是递增数列下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是又是无穷数列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2,-3,-n,C.1,2,3,2,5,6,D.-1,0,1,2,100,答案答案:D答案答案:A解析解析:当当n分别等于分别等于1,2,3,4时时,数列数列an的前的前4项依次为项依次为1,0,1,0.3.已知数列已知数列an满足满足a10,2an+1=an,则数列则数列an是是()A.递增数列递增数列B.递减数列递减数列C.常数列常数列D.以上都不对以上都不对答案答案:Ban+1an,数列数列an是递减数列
