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1、正多边形的有关计算 （二 ）一、素质教育目标（一）知识教学点1复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边 形的计算，解决实际应用问题；2 通过正十边形的边长aio与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的 数学方法；3在基本计算图的基础上，能将同圆内接正 n 边形与外切正 n 边形的有关 计算数据进行相互转化（二）能力训练点1在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为 几何图形的抽象能力；2根据条件进行正确迅速计算的运算能力；3用代数计算的结果作证明依据的综合、分析问题，解决问题的能力；4通过研究同圆内接正n边形与外切正n边形的关系，培养学生的观察能 力（
2、三）德育渗透点1通过解应用题，培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观 点；八、2 .通过研究同圆内接正n边形与外切正n边形的关系，渗透事物相互转化 的观点及抓主要矛盾的辩证唯物主义观点二、教学重点、难点、疑点及解决方法1.重点： （1）应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题；（2）用代数计算的方法证明正十边形的边长g二专R；同圆內接正口边形与外切正n边形已知条件与未知元素的相互转化.2.难点：证蛊m =3 疑点及解决方法：在推导aio与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出 来的解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识.三、教学步骤（一）明确目标上节课我们根据正多边形
3、的定义及其概念，运用将正多边形分割成三角形的 方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角形问题基本计算图，并应用基本计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊 角的正多边形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题.（二 ）整体感知正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会 用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义，为此本堂课讲解了几个正多边 形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识.（三）重点、难点的学习与目标完成过程幻灯展示正多边形的一般计算图7-144
4、，教师提问以下问题让学生回忆并作 答：1 .在Rt AOD中，斜边R是正n边形的;（安排中下生回答：半径）2 直角边rn是正n边形的;（安排中下生回答：边心距）图 7-1443图中的an表示正多边形的什么？（安排中下生回答：边长）4图中的an表示正多边形的什么？（安排中下生回答：中心角）5.哪位同学知道号应该如何廿算？（安排中下生回答：=18）n幻灯供题：已知正方形的半径是血，求边心距边长哪位同学记得解这类题的一般步骤？（安排中下生回答：先画计算图，标明己知数据，未知条件，再解直角三角形）正方形的扌中心角度数是多少？（安排中下生回答：45 ）要求肌距如现已解径Rf広大家想想看该选中的哪个三 角
5、函数？（安排中下生回答：选舟中心角的余弦）已知半径R二妊 求 哲，你又打算选学的哪个三角函数？安排中下生回笞）分析完后，安排学生计算出结果.（幻灯给出应用题）：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得 这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R和边心距 叫精确到0.1cm）.D图 7-145解：设正五边形为 ABCDE，它的中心为点 O,连接OA，作OF丄AB，垂 足为F，（问：这一步目的是什么？）则OA=R，OF=r5，/ AOF= ？（安排学生回答： 36 ）TAP二今今= 24（c讪2424 e=24 ctg36 =24 x 1.3764 33.0（cm）.答：这个正多边形的半径
6、约为 40.8cm，边心距约为33.0cm .正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正 多边形的有关计算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮冋题与前题正 方形的计算不是同出一辙吗？巩固练习：教材P.116中7,要用圆形铁片截出边长a的正方形铁片，选用 的圆铁片的直径最小要多长？教师启发，提出下列问题：1.要截出边长为a的正方形铁片与选用的直径 最小的圆铁片它们之间是什么关系？（安排中等生回答：正方形是圆的内接正方 形）2 .这题实质是给出了正方形的什么元素，求什么元素？（安排中下生回答：给出正方形边长求半径.）请同学们以最快的速度，求出答案.幻灯给出顶角36。的
7、等腰三角形，教师作如下启发思考的提问：1.如图7-146，已知 ABC中AB=AC，/ A=36。，哪位同学知道/ B与 / c的度数？（安排中下生回答）2 .如果BD平分/ ABC交AC于D，你发现图形 中与BC相等的线段有哪些？（安排中下生回答）3.你发现图形中哪两个三角形 相似？（安排中等生回答）4.如果AC=a，BC应是多少？怎么计算？（安排学生讨 论、研究）AB = AC ZABC = 725 =Zcl ZABD = ZDBC = 36& ZA = 36 P BD平分ZABC二 ZA = 36p戶fAD = BD = BCABCS&DC =ACBCECDCBCa =AC-DC=BCS
8、 =(AC-AB) * ACEC二AD=B：CLbc* BBC =AC = aHl -t a（继续启发思考提问）：大家观察证明中BC2=DEAC这一步，因BC=AD，所 以前等式变为AD2=DC AC,也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长 的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项，哪位同学记得点D应叫做 线段AC的什么点？（安排回忆起来的学生回答：黄金分割点）由上面的证明我们 知道AD应是AC的黄金分割线段，由于BC与AD相等，观察发现BC是顶角 36。角的等腰三角形的底，AC是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位同学能 说一下你所得的结论？（安排中上学生回答：顶角36。角的等腰三角
9、形的底边长 是它腰长的黄金分割线段）若腰长为a则底边长应是多少？（安排中等生回答：坐二切它的近似值是约等于0.618a ,1 哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？ （安排中下生回答：36 ）2 大家想想看，正十边形的夹 36。中心角的半径与边长组成一个什么图 形？（安排中等生回答：顶角36。的等腰三角形）3 如果一个正十边形的半径为 R，那么这个正十边形的边长 aio应该等于多少？（安排中等生回答：引厂密R）幻灯供题：已知。O的内接正六边形的边长为2，求。O的外切正三角形的 边长.大家观察。O的半径OC,它与内接正六边形 ABCDEF、外切正厶MNP有什么联系？（安排中上学生回答：OC是
10、内接正六边形的半径，它又是外切正厶MNP的弦心距）由于正六边形的边长等于半径，知边长为2即知。O的半径R=2 , 而半径0C又是O O外切正MNP的弦心距9解RtZXOCP可得正ZXAWP的边长=4筋.通过这题你发现连接圆内接正n边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？（安 排中等学生回答：这个圆的半径 R）这R是内接正n边形的半径又是同圆外切正 多边形的边心距，所以解这类题的关键在于根据已知条件首先求出R，再将R转化求出未知元素.（四）总结哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？（安排上等生归纳）1 应用正多边形的有关计算解决实际问题.3明确了连接圆内接正n边形与同圆外切正多边形的桥梁是这个圆的半径， 即它是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距， 因此解决此类问题 首先要求它.四、布置作业教材 P.108 中练习 2; P.116 中 8、9、10、11 .
