《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大小值第1课时函数的极值课件新人教版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大小值第1课时函数的极值课件新人教版选择性必修第二册（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3.2函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值第第1课时函数的极值课时函数的极值课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目 标 素素 养养1.了解函数极值的概念了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系导数的关系,提升数学抽象核心素养提升数学抽象核心素养.2.掌握函数极值的求法掌握函数极值的求法,掌握函数在某一点取得极值的条件掌握函数在某一点取得极值的条件,提升数学抽象、数学运算核心素养提升数学抽象、数学运算核心素养.3.能根据极值点与极值的情况求参数取值范围能根据极值点与极值的情况求参数
2、取值范围.会利用极值解会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题决方程的根与函数图象的交点个数问题,提升逻辑推理核心提升逻辑推理核心素养素养.知知 识 概概 览课前基础认知1.函数极值、极值点的概念函数极值、极值点的概念如图如图,函数函数y=f(x)在点在点x=a处处的的函数值函数值f(a)比它在比它在点点x=a附近附近其他其他点点处处的的函数值都小函数值都小,f(a)=0;而且在点而且在点x=a附近的附近的左侧左侧f(x)0.类似地类似地,函数函数y=f(x)在点在点x=b处处的的函数值函数值f(b)比它在点比它在点x=b附近其他附近其他点点处处的的函数值都大函数值都大,f(b)=0;而
3、且在点而且在点x=b附近的左侧附近的左侧f(x)0,右侧右侧f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么f(x0)是是极大值极大值;(2)如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么f(x0)是是极小值极小值.微思考微思考2 函数函数的极值与单调性有什么联系的极值与单调性有什么联系?提示提示:极值点两侧单调性必须相反极值点两侧单调性必须相反,要研究函数的极值要研究函数的极值,需先需先研究函数的单调性研究函数的单调性.答案答案:D 当当x(0,2)时时,f(x)0.故故f(x)在在x=2处取极小值处取极小值.故选故选D.课堂重难突破一一 不不含参数的函数求极含参数的函数求极值典例剖析典例
4、剖析1.求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:(1)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,令令f(x)=0,得得x=-1或或x=1.当当x变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表.由上表可以看出由上表可以看出,当当x=-1时时,函数有极小值函数有极小值,且且极小值为极小值为f(-1)=-3;当当x=1时时,函数有极大值函数有极大值,且且极大值为极大值为f(1)=-1.x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)单调单调递减递减极小极小值值单调单调递增递增极大极大值值单调单调递减递减令令f(x)=0,解得解得x=e.当当x变化时变化时,f(x)
5、与与f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表.因此因此,当当x=e时时,f(x)取极大值取极大值,极大值为极大值为f(e)=;f(x)没有极小值没有极小值.规律总结规律总结 求解求解函数极值的步骤函数极值的步骤(1)确定函数的定义域确定函数的定义域;(2)求方程求方程f(x)=0的根的根;(3)用方程用方程f(x)=0的根将函数的定义域划分为若干个开区间的根将函数的定义域划分为若干个开区间,并列出表格并列出表格;(4)由由f(x)在在f(x)=0的根的左右的符号的根的左右的符号,判断判断f(x)在这个根处在这个根处取极值的情况取极值的情况.学以致用学以致用1.求下列函数的极值求下列函数的极值:
6、(1)f(x)=x3-x2-3x+3;(2)f(x)=x2e-x.解解:(1)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,f(x)=x2-2x-3.令令f(x)=0,得得x1=-1,x2=3.当当x变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表.由上表可以看出由上表可以看出,当当x=-1时时,函数有极大值函数有极大值,且且极大值为极大值为f(-1)=;当当x=3时时,函数有极小值函数有极小值,且极小值为且极小值为f(3)=-6.(2)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,f(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令令f(x)=0,得得x=0或或x=2.当当x变化时变
7、化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表.x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)-0+0-f(x)单调递减单调递减极小值极小值单调递增单调递增极大值极大值单调递减单调递减由上表可以看出由上表可以看出,当当x=0时时,函数有极小值函数有极小值,且极小值为且极小值为f(0)=0;当当x=2时时,函数有极大值函数有极大值,且极大值为且极大值为f(2)=4e-2.二二 含含参数的函数求极参数的函数求极值典例剖析典例剖析2.已知函数已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中其中a0,求求f(x)的极值的极值.解解:f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其
8、中其中a0,f(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a).规律总结规律总结 求求含参数函数的极值的注意事项含参数函数的极值的注意事项(1)分类讨论分类讨论:根据参数的范围根据参数的范围,确定讨论的界点确定讨论的界点,讨论函数的讨论函数的单调性单调性;(2)在某区间内的单调函数不存在极值在某区间内的单调函数不存在极值.学以致用学以致用2.若函数若函数f(x)=x-aln x(aR),求函数求函数f(x)的极值的极值.当当a0时时,f(x)0,函数函数f(x)在区间在区间(0,+)内为增函数内为增函数,函数函数f(x)无极值无极值.当当a0时时,令令
9、f(x)=0,解得解得x=a.当当0 xa时时,f(x)a时时,f(x)0.故故f(x)在在x=a处取得极小值处取得极小值,且且f(a)=a-aln a,无极大值无极大值.综上可知综上可知,当当a0时时,函数函数f(x)无极值无极值;当当a0时时,函数函数f(x)在在x=a处取得极小值处取得极小值a-aln a,无极大值无极大值.三三 由由极极值求参数的求参数的值或取或取值范范围3.(1)已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处取极值处取极值10,则则a等于等于()A.4或或-3B.4或或-11C.4D.-3(2)若函数若函数f(x)=x2+(a-1)x-aln x没有极
10、值没有极值,则则()A.a=-1B.a0C.a-1D.-1a0,得得x6;由由f(x)0,得得2x6.x=2是是f(x)的极大值点的极大值点,f(2)=2(2-6)2=32.即函数即函数f(x)的极大值为的极大值为32.四四 由由极极值求参数的求参数的值或取或取值范范围典例剖析典例剖析4.已知函数已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数为实数),若方程若方程f(x)=0有三个不同有三个不同的实根的实根,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解解:f(x)=3x2-3,令令f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x0;当当-1x1时时,f(x)1时时,
11、f(x)0.故当故当x=-1时时,f(x)有极大值有极大值f(-1)=2+a;当当x=1时时,f(x)有极小值有极小值f(1)=-2+a.因为方程因为方程f(x)=0有三个不同的实根有三个不同的实根,所以所以y=f(x)的图象与的图象与x轴有三个交点轴有三个交点,如图如图.解得解得-2a2,故实数故实数a的取值范围是的取值范围是(-2,2).互动探究互动探究1.(变条件变条件)本例中本例中,若方程若方程f(x)=0恰有两个根恰有两个根,则实数则实数a的值如的值如何求解何求解?解解:由例题知由例题知,函数的极大值函数的极大值f(-1)=2+a,极小值极小值f(1)=-2+a,若若f(x)=0恰有
12、两个根恰有两个根,则有则有2+a=0或或-2+a=0,故故a=-2或或a=2.2.(变条件变条件)本例中本例中,若方程若方程f(x)=0有且只有一个实根有且只有一个实根,求实数求实数a的范围的范围.解解:由例题可知由例题可知,要使方程要使方程f(x)=0有且只有一个实根有且只有一个实根,只需只需2+a0,即即a2.规律总结规律总结 利用利用导数求方程根的个数的步骤导数求方程根的个数的步骤(1)利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性;(2)研究函数的极值情况研究函数的极值情况;(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象在上述研究的基础上画出函数的大致图象;(4)直观上判断函数的图象与直
13、观上判断函数的图象与x轴的交点个数或两个图象的轴的交点个数或两个图象的交点的个数交点的个数.若含有参数若含有参数,则需要讨论极值的正负则需要讨论极值的正负.学以致用学以致用4.已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)求函数求函数f(x)的单调递增区间的单调递增区间;(2)若对任意若对任意a3,4,函数函数f(x)在在R上上都都有三个零点有三个零点,求实数求实数b的取值范围的取值范围.解解:(1)因为因为f(x)=-x3+ax2+b(a,bR),随堂训练1.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为R,导函数导函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则则函数函数f(x
14、)()A.无极大值点无极大值点,有四个极小值点有四个极小值点B.有三个极大值点有三个极大值点,两个极小值点两个极小值点C.有两个极大值点有两个极大值点,两个极小值点两个极小值点D.有四个极大值点有四个极大值点,无极小值点无极小值点答案答案:C解析解析:设设y=f(x)的图象与的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为轴的交点从左到右的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则则f(x)在在x=x1,x=x3处取得极大值处取得极大值,在在x=x2,x=x4处取得处取得极小值极小值.2.(多选题多选题)下列四个函数中下列四个函数中,在在x=0处取得极值的函数是处取得极值的函数是()A.y=x5B.y=x
15、2+1C.y=x4D.y=2x答案答案:BC解析解析:对于对于A,y=5x40,y=x5在在R内单调递增内单调递增,无极值无极值;对于对于B,y=2x,y|x=0=0,当当x0时时,y0,当当x0时时,y0时时,y0,当当x0时时,y0,解得解得a6或或a-3.4.函数函数f(x)=ax-1-ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为在定义域内的极值点的个数为.答案答案:0所以当所以当a0时时,f(x)0在区间在区间(0,+)内恒成立内恒成立,所以函数所以函数f(x)在区在区间间(0,+)内单调递减内单调递减,所以所以f(x)在区间在区间(0,+)内没有极值点内没有极值点.5.已知曲线已知曲线
16、f(x)=x3+ax2+bx+1在点在点(1,f(1)处的切线斜率为处的切线斜率为3,且且x=是是函数函数f(x)的极值点的极值点,则则a+b=.答案答案:-2解析解析:f(x)=3x2+2ax+b,6.已知函数已知函数f(x)=ax2+bln x在在x=1处有处有极值极值 .(1)求求a,b的值的值;(2)判断判断f(x)的单调区间的单调区间,并求极值并求极值.x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)单调递减单调递减极小值极小值单调递增单调递增因为因为f(x)的定义域为的定义域为(0,+),所以令所以令f(x)=0,解得解得x=1.当当x变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表.所以所以f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为单调递增区间为(1,+).所以所以f(x)极小值极小值=f(1)=,f(x)无极大值无极大值.
