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1、章末核心素养整合章末核心素养整合专题归纳突破突破知知识体系构建体系构建知识体系构建专题归纳突破专题一一 条件概率条件概率与全概率公式与全概率公式 1.条件概率是学习相互独立事件的前提和基础条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概计算条件概率时率时,必须弄清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率必须弄清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率.求条件概率主要有以下几种方法求条件概率主要有以下几种方法:(2)针对古典概型针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解可通过缩减基本事件总数求解.2.全概率公式全概率公式:一般地一般地,设设A1,A2,An是一组两两互斥的事件是一组两两互斥的事件,A
2、1A2An=,且且P(Ai)0,i=1,2,n,则对任意的事件则对任意的事件B,有有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).【典型例题【典型例题1】(1)将三颗相同的骰子将三颗相同的骰子(六点六点)各掷一次各掷一次,设事设事件件A=“掷得的向上的三个点数都不相同掷得的向上的三个点数都不相同”,B=“至少出现一个至少出现一个6点向上点向上”,则则P(B|A)=()答案答案:B(2)若某新型病毒可能造成若某新型病毒可能造成“持续人传人持续人传人”,通俗点说就是存在通俗点说就是存在甲传乙甲传乙,乙又传丙乙又传丙,丙又传丁丙又传丁.那么甲、乙、丙就会被称为第一那么甲、乙、丙就会被称为第一代、第二代、第三代
3、传播者代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.90,0.85,健康的小明参加了一次多人宴会健康的小明参加了一次多人宴会,事后知道事后知道,参加宴会的人有参加宴会的人有5名第一代传播者名第一代传播者,3名第二代传播者名第二代传播者,2名第三代传播者名第三代传播者.试计算试计算,小明参加聚会小明参加聚会,仅和感染的仅和感染的10个人其中一个接触后感染的概个人其中一个接触后感染的概率率.解解:设事件设事件A,B,C分别为和第一代、第二代、第三代传播者分别为和第一代、第二
4、代、第三代传播者接触接触,事件事件D为小明被感染为小明被感染,则则由已知得由已知得P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.90,P(D|C)=0.85,则则P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.950.5+0.900.3+0.850.2=0.915.专题二二 离散离散型随机型随机变量的分布列、均量的分布列、均值和方差和方差 离散型随机变量的均值和方差应用问题的解题策略离散型随机变量的均值和方差应用问题的解题策略:(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的求离散型随机变量的均值与方差关键
5、是确定随机变量的所有可能值所有可能值,写出随机变量的分布列写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公正确运用均值、方差公式进行计算式进行计算;(2)要注意观察随机变量的概率分布特征要注意观察随机变量的概率分布特征,若属于二项分布若属于二项分布,可用二项分布的均值与方差公式计算可用二项分布的均值与方差公式计算;(3)在实际问题中在实际问题中,若两个随机变量若两个随机变量X1,X2,有有E(X1)=E(X2)或或E(X1)与与E(X2)较为接近时较为接近时,就需要用就需要用D(X1)与与D(X2)来比较两个随来比较两个随机变量的稳定程度机变量的稳定程度,即一般将均值最大即一般将均值最大(或最小或最
6、小)的方案作为最的方案作为最优方案优方案,若各方案的均值相同若各方案的均值相同,则选择方差最小则选择方差最小(或最大或最大)的方的方案作为最优方案案作为最优方案.【典型例题【典型例题2】某产品按行业生产标准分成某产品按行业生产标准分成8个等级个等级,等级系等级系数数X依次为依次为1,2,8,其中其中X5为标准为标准A,X3为标准为标准B.已知甲厂已知甲厂执行标准执行标准A生产该产品生产该产品,产品的零售价为产品的零售价为6元元/件件;乙厂执行标准乙厂执行标准B生产该产品生产该产品,产品的零售价为产品的零售价为4元元/件件,假定甲、乙两厂的产品假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准都符合相应的
7、执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表的分布列如下表:X15678P0.4ab0.1且且X1的均值的均值E(X1)=6,求求a,b的值的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机从该厂生产的产品中随机抽取抽取30件件,相应的等级系数组成一个样本相应的等级系数组成一个样本,数据如下数据如下:353385563463475348538343447567用该样本的频率分布估计总体分布用该样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率将频率视为概率,求等求等级系数级系数X2的均值的均值;(3)在在(1)(2)的条件下的条件
8、下,若以若以“性价比性价比”为判断标准为判断标准,则哪个工厂则哪个工厂的产品更具有可购买性的产品更具有可购买性?说明理由说明理由.“性价比性价比”高的产品更具有可购买性高的产品更具有可购买性.解解:(1)因为因为E(X1)=6,所以所以50.4+6a+7b+80.1=6,即即6a+7b=3.2.又由又由X1的分布列得的分布列得0.4+a+b+0.1=1,即即a+b=0.5.(2)由已知由已知,得样本的频率分布表如下得样本的频率分布表如下:X2345678f0.30.20.20.10.10.1用该样本的频率分布估计总体分布用该样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率将频率视为概率,可得可得等级
9、系数等级系数X2的分布列如下的分布列如下:X2345678P0.30.20.20.10.10.1因此因此E(X2)=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8,即乙厂产品的等级系数的均值为即乙厂产品的等级系数的均值为4.8.(3)乙厂的产品更具有可购买性乙厂的产品更具有可购买性,理由如下理由如下:甲厂产品的等级系数的均值为甲厂产品的等级系数的均值为6,零售价零售价为为6元元/件件,专题三三 正正态分布分布的的实际应用用 正态分布下两类常见的概率计算正态分布下两类常见的概率计算:(1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的
10、知涉及的知识主要是正态曲线关于直线识主要是正态曲线关于直线x=对称对称,曲线与曲线与x轴之间的面积轴之间的面积为为1;(2)利用利用3原则求概率问题时原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与要注意把给出的区间或范围与正态变量的正态变量的,进行对比联系进行对比联系,确定它们属于确定它们属于-,+,-2,+2,-3,+3中的哪一个中的哪一个.【典型例题【典型例题3】(1)某商场经营的某种包装的大米质量某商场经营的某种包装的大米质量X(单单位位:kg)服从正态分布服从正态分布N(10,2),根据检测结果可知根据检测结果可知P(9.9X10.1)=0.96.某公司为每位职工购买一袋这种包装的某公司
11、为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利大米作为福利,若该公司有若该公司有1 000名职工名职工,则分发到的大米质量则分发到的大米质量在在9.9 kg以下的职工数大约为以下的职工数大约为()A.10B.20C.30D.40答案答案:B所以分发到的大米质量在所以分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约以下的职工数大约为为1 0000.02=20.(2)对一个物理量做对一个物理量做n次测量次测量,并以测量结果的平均值作为该并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果物理量的最后结果.已知最后结果的误差已知最后结果的误差nN ,为使误差为使误差n在在-0.5,0.5的概率不小于的概率不小于0.9
12、54 5,至少要测量几次至少要测量几次?附附:若若XN(,2),则则P(|X-|2)0.954 5.专题四四 思想方法思想方法专题 1.转化与化归思想转化与化归思想将复杂事件的概率转化为简单事件的概率将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件即寻找所求事件与已知事件之间的关系与已知事件之间的关系.“所求事件所求事件”分几类分几类(考虑加法公式考虑加法公式,转转化为互斥事件化为互斥事件)还是分几步组成还是分几步组成(考虑乘法公式考虑乘法公式,转化为相互独转化为相互独立事件立事件).(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1,P2;(2)设在该次比赛中设在该次比赛
13、中,甲队得分为甲队得分为X,求求X的分布列及均值、方的分布列及均值、方差差.解解:(1)由题意由题意“甲队胜乙队甲队胜乙队”的概率为的概率为P1,“甲队胜丙队甲队胜丙队”的概的概率为率为P2.因为甲队获得第一名因为甲队获得第一名,所以甲队胜乙队且甲队胜丙队所以甲队胜乙队且甲队胜丙队,(2)X的可能取值为的可能取值为0,3,6.当当X=0时时,甲队两场比赛皆输甲队两场比赛皆输,其概率为其概率为所以所以X的分布的分布列为列为 2.方程思想方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程建立方程(组组),通通过解方程过解方程(组组)使问题获解使问题获解.(1
14、)分别求甲、乙两地降雨的概率分别求甲、乙两地降雨的概率;(2)3天假期中在甲、乙两地天假期中在甲、乙两地,仅有一地降雨的天数为仅有一地降雨的天数为X,求求X的分布列、均值与方差的分布列、均值与方差.解解:(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为设甲、乙两地降雨的事件分别为A,B,且且P(A)=x,P(B)=y.所以所以X的分布的分布列为列为 3.分类讨论思想分类讨论思想分类讨论问题的实质是把整体化为部分来解决分类讨论问题的实质是把整体化为部分来解决,化成部分从化成部分从而增加题设条件而增加题设条件,这是解分类讨论问题的指导思想这是解分类讨论问题的指导思想.【典型例题【典型例题6】为回馈顾客为回馈顾客
15、,某商场拟通过摸球兑奖的方式某商场拟通过摸球兑奖的方式对对1 000名顾客进行奖励名顾客进行奖励,规定规定:每名顾客从一个装有每名顾客从一个装有4个标有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出面值的球的袋中一次性随机摸出2个球个球,球上所标的面值之和球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的若袋中所装的4个球中有个球中有1个所标的面值为个所标的面值为50元元,其余其余3个个均为均为10元元,求求:顾客所获的奖励额为顾客所获的奖励额为60元的概率元的概率;顾客所获的奖励额的分布列及均值顾客所获的奖励额的分布列及均值.(2)商场对奖励总额的预算是商场对奖励总额的预算是
16、60 000元元,并规定袋中的并规定袋中的4个球个球只能由标有面值只能由标有面值10元和元和50元的两种球组成元的两种球组成,或标有面值或标有面值20元元和和40元的两种球组成元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每名顾客所获的奖励额相对均衡合商场的预算且每名顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中请对袋中的的4个球的面值给出一个合适的设计个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由并说明理由.解解:(1)设顾客所获的奖励额为设顾客所获的奖励额为X,(2)根据商场的预算根据商场的预算,每名顾客的平均奖励额为每名顾客的平均奖励额为60元元,所以先所以先寻找均值为寻找均值为60元的可能方案元的可能方案.对于面值由对于面值由10元和元和50元组成的情况元组成的情况,如果选择如果选择(10,10,10,50)的方案的方案,因为因为60元是面值之和的最大值元是面值之和的最大值,所以均值不可能为所以均值不可能为60元元.如果选择如果选择(50,50,50,10)的方案的方案,因为因为60元是面值之和的最小值元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为所以均
