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1、第七章 非平稳时间序列时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析 有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序 列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进行 的t检验、F检验与2等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据 表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平 稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个 时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时， 应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。第一节 伪回归问题经典计量经济学建
2、模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以 某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借 此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是 20 世纪 70 年代以前计量经 济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在 20 世纪 70 年代出现 石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见 石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量 的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研 究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析 中所涉及的经济变量数据基
3、本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平 稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带 来不良后果，如伪回归问题。所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出 存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归 现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到 20 世纪 70 年代， Grange、 Newbold 研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序 列变量的非平稳性。他们用 Monte Carlo 模拟方法研究表明，如果用传统回归分 析方法对彼此不相关联的非平稳变量进行回归，t检验值和F检验值
4、往往会倾向 于显著，从而得出“变量相依”的“伪回归结果”。因此，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经 济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。如果经济变量时间序列是非平稳 的，则需要寻找新的处理方法。20 世纪 80 年代发展起来的协整理论就是处理非 平稳经济变量关系的行之有效的方法。该理论自从诞生以来，受到众多经济学家 的重视，并广泛运用于对实际经济问题的研究。所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生 变化，即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化。当生成序列的 随机过程是非平稳的时候，其均值函数，方差函数不再是常数，自协方差函数
5、也 不仅仅是时间间隔t-s的函数，前面所介绍的高斯一一马尔科夫定理不再成立， 一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果，前面所介绍的计量经济技术 也将遇到困难。在经济领域中，我们所得到的许多时间序列观测值大都不是由平稳过程产生 的。例如，国内生产总值GDP大多数情况下随时间的位移而持续增长；货币供 给量M2在正常状态下会随时间的位移而扩大。也就是说，2009年GDP或M2 观测值的随机性质与1999年的GDP和M2的随机性质有相当的区别。由于在实 际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列，而平稳性在计量经济建模中又具 有重要地位，因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验。第二节 单位
6、根过程与检验从前面平稳过程的定义可以看出，一个平稳过程的数据图形特征为：数据围 绕长期均值E(xt)=u波动，偏离均值之后，有复归均值的调整；方差variance有 限且不随时间改变；其自相关函数随时间衰减。与之相对应的概念是非平稳过程， 定义为对平稳过程的条件之一不能满足的过程即为非平稳过程，其数据图形特征 为：不存在长期均值；方差具有时变性且趋于无穷；从理论说，自相关不随时间 衰减， 但对于有限样本，样本自相关亦可能较慢速的衰减。所以我们可以根据平稳过程 的数字特征对它进行平稳性检验，这是时间序列平稳性的检验方法的传统方法。 介绍传统方法的书籍较多，所以本书不作介绍，本书介绍平稳性检验的现
7、代方法 之一：单位根检验法。一、单位根过程一般来讲，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系，这种前后依存关系是时间序列预测的基础。假定y 为一时间序列，最简单 t的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，而与其前一时期以前的取值状况无直接关系，也就是说 y 主要与 y 相关，与 y ，tt-1t - 2y ，无关。可用如下的一阶自回归模型来描述这种关系：t-3y =丫 y + u(7.1)tt-1 t常记作 AR(1)。如果 y 不仅与前一期 y 有关，而且与 y 相关，显然，在这种情况下用 AR(1)tt-1t-2来刻画 y 的动态依存关系就不恰
8、当了，而需要在模型中引入 y 。一般的，如果tt-2y 与过去时期直到 y 的取值相关，则 y 的动态关系就需要使用包含 tt- pty ， y 在内的 p 阶自回归模型来加以刻画。 p 阶自回归模型的一般形 t-1t- p式为：y = y y +丫 y Hy y + u(7.2)t1 t-1 2 t - 2p t - p t为了说明单位根过程的概念，这里侧重以AR(1)模型y =yy + u进行分析。 tt-1t根据平稳时间序列分析的理论可知，当|y| 1时，该序列y 是平稳的，此模型是经典的Box-Jenkins时间序列AR(1)模型。但是，女口禺=1，则序列的生成过程变为随机游走过程：y
9、 = y +u(7.3)tt-1 t其中，u 独立同分布且均值为零、方差恒定为a 2。随机游走过程的方差为：tVar(y ) =Var(y +u ) =Var(y +u +u )tt-1 tt-2 t-1 t=Var (u + u + u + u ) = ta 21 2t-1 t当t 时，序列的方差趋于无穷大，这说明随机游走过程是非平稳的，同时也 说明随机游走过程具有“记忆性”。下面我们来对比一下随机游走过程和平稳的 一阶自回归过程统计特征表 1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较随机游走过程垃2(无限的)平稳一阶自回归过程y 二丫 y + u (1丫 1 1)tt1t自相关系数穿
10、越零均值点的期望时间记忆性P = ：1 (k / T) _1无限的永久的P = Y k k有限的暂时的a2/(1丫2)(有限的)有时我们也称一个随机游动过程是一个单位根过程。过程y二y +u之所tt 1 t以被称为单位根过程是因为如下事实。如果我们用滞后算子L来表示过程y ，t则有(1 p L)y - u(7.4)tt而(7.4)所对应的特征函数为11 p L1= 0(7.5)当方程(7.5)有一个根位于单位园上即L=1,有| p |= 1时，从而可知yt由随机趋势所决定。这样，p = 1刻划了数据生成过程(DGP)(7.1)的特征根位于单位园上且数据由随机趋势所支配，因此，p = 1时称过程
11、(7.1)为单位根过程 较随机游动更一般的，是一般的单位根过程。如果随机过程y 遵从：ty = Y y + u(7.6)tt 1t其中，Y = 1，u 为 一平稳过程，且 E (u ) = 0, Cov (u , u )=卩 g, s = 0,1,2,。ttt t ss则称序列y 为(不带漂移的)单位根过程。带漂移和时间趋势的单位根过程服t从如下模型：y =a + B t + y + u(7.7)tt 1 t显然，随机游动过程是一般单位根过程的一个特例。从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根的过程y ，其一阶差分：tAy 二 y - y 二 ut t t-1t是一平稳过程，像这种经过一次差分
12、后变为平稳的序列称为一阶单整序列(Integrated Process)，记为y 1(1)。有时一个序列经一次差分后可能还是非平稳t的，如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为 y 1(2)。一般地，如果序列y 经过d次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳, tt那么称y 为d阶单整序列，记为y I (d)，d称为整形阶数。特别地，若序tt列本身是平稳的，则称序列为零阶单整序列，记为y,I (0)。二、Dickey-Fuller 检验(DF 检验)我们知道大多数的经济变量，如GDP、总消费、价格水平以及货币供给虽M2 等都会呈现出强烈的趋势特征。这些具有趋势特征的经济变
13、量，当发生经济 振荡或冲击后，一般会出现两种情形，一是受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又 回到它们的长期趋势轨迹；二是这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机 游走的状态。若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程(比如随机游走过程)， 当运用最小二乘法时，前面所介绍的高斯马尔科夫定理不再成立，一个变量 对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。同时，如果我们所研究的经济变量(如GDP)是非平稳的，则经济出现突发性振荡(如石油价格猛增，金融危机或政府开 支骤减等)所造成的影响不会在短期内消失，其影响将是持久性的。这也是研究 单位根检验的重要意义所在。在介绍检验方法之前，先讨论检验统计量的分布。(这部分
14、内容理论性强，可跳过或选讲)情形 1：数据生成过程(DGP)：y 二 y + U , y0 = 0, ut IID(0, b 2)(7.8)tt-1 t0tOLS 估计过程：y =y y + u(7.9)tt -1t提出假设 H : 丫二1; H : 丫 1 01以OLS估计式y =y y + u为例，若真值丫= 0，则统计量tt1tt 广亠t(T 1)，(7.10)斜)se(Y)的极限分布为标准正态分布。若真值Iy l 1，则统计量t=(y)y-yse(V)(7.11)渐近服从标准正态分布。在H成立的条件下y= 1，这时t统计量不再服从通常的t分布，而是服从 o(y)DF分布。此时t称为DF
15、统计量。可以证明当TTs时，(y)p 12(w 1r(W (i)2 di0DF统计量是0(1)的，其渐近分布与无关。由于该极限分布无法用解析的方 法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法研究DF统计量的有限样本分布。DF = t(y )(7.12)s(y )Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis-3.75-2.50-1.250.001.252.503.75Series: DFSample 1 10000Observations 10000-0.403611-0.4829773.710184-4.0595400.9968190.2509053.109055Jarque-Bera 109.8776Probability 0.000000图 1
