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1、第七章随机变量及其分布第七章随机变量及其分布习题习题课二课二离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值一一 放回放回与不放回与不放回问题的均的均值超几何分布描述的是不放回抽样问题超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是而二项分布描述的是放回抽样问题放回抽样问题.超几何分布中的概率计算实质上是古典概型超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题问题.【典型例题【典型例题1】在在10件产品中有件产品中有2件次品件次品,连续抽连续抽3次次,每次抽每次抽1件件,求求:(1)不放回抽样时不放回抽
2、样时,抽取次品数抽取次品数X的均值的均值;(2)放回抽样时放回抽样时,抽取次品数抽取次品数Y的均值的均值.规律总结规律总结 不放回抽样不放回抽样服从超几何分布服从超几何分布,放回抽样服从二项放回抽样服从二项分布分布,求均值可利用公式代入计算求均值可利用公式代入计算.【跟踪训练【跟踪训练1】甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他完全相甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他完全相同的红球和白球同的红球和白球,已知甲袋中共有已知甲袋中共有m个球个球,乙袋中共有乙袋中共有2m个球个球,从甲袋中摸出从甲袋中摸出1个球为红球的概率个球为红球的概率为为 ,从乙袋中摸出从乙袋中摸出1个球为个球为红球的概率为红球的概率为P2.
3、(1)若若m=10,求甲袋中红球的个数求甲袋中红球的个数;(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出从中摸出1个红球的个红球的概率概率是是 ,求求P2的值的值;(3)设设P2=,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出每次摸出1个球个球,并且从甲袋中摸并且从甲袋中摸1次次,从乙袋中摸从乙袋中摸2次次.设设X表示摸出红球表示摸出红球的总次数的总次数,求求X的分布列和均值的分布列和均值.所以所以X的分布列为的分布列为 二二 离散离散型随机型随机变量的均量的均值的常的常见类型型求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值的步骤的均值的步
4、骤:(1)理解理解X的意义的意义,写出写出X可能的全部值可能的全部值;(2)求求X取每个值的概率取每个值的概率;(3)写出写出X的分布列的分布列;(4)由均值的定义求由均值的定义求E(X).【典型例题【典型例题2】设袋子中装有设袋子中装有a个红球个红球,b个黄球个黄球,c个蓝球个蓝球,且且规定规定:取出一个红球得取出一个红球得1分分,取出一个黄球得取出一个黄球得2分分,取出一个蓝球取出一个蓝球得得3分分.(1)当当a=3,b=2,c=1时时,从该袋子中任取一个球从该袋子中任取一个球,记下颜色后放记下颜色后放回回,再取一个球再取一个球(每球取到的机会均等每球取到的机会均等),记随机变量记随机变量
5、X为取出两为取出两球所得分数之和球所得分数之和,求求X的分布列及均值的分布列及均值E(X).(2)从该袋子中任取从该袋子中任取(每球取到的机会均相等每球取到的机会均相等)1个球个球,记随机记随机变量变量Y为取出此球所得分数为取出此球所得分数.若若E(Y)=,D(Y)=,求求a b c.(2)由题意知由题意知Y的分布的分布列为列为 规律总结规律总结 解解此类题的关键首先是搞清离散型随机变量此类题的关键首先是搞清离散型随机变量X取取每个值时所对应的随机事件每个值时所对应的随机事件,然后利用排列、组合知识求出然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率取每个值时的概率,最后利用均值的公式计算最后利用
6、均值的公式计算.【跟踪训练【跟踪训练2】某名同学记住了某名同学记住了10个数学公式中的个数学公式中的m(m10)个个,从这从这10个公式中随机抽取个公式中随机抽取3个个,若他记住若他记住2个公式的概率个公式的概率为为 .(1)求求m的值的值;(2)分别求他记住的数学公式的个数分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式与没记住的数学公式的个数的个数Y的均值的均值E(X)与与E(Y),比较比较E(X)与与E(Y)的关系的关系,并加以说并加以说明明.即即m(m-1)(10-m)=120,且且m2.解得解得m的值为的值为6.(2)由由(1)知知,记住的数学公式有记住的数学公式有6个个,故故X的可
7、能取值为的可能取值为0,1,2,3.没记住的数学公式有没记住的数学公式有10-6=4个个,故故Y的可能取值为的可能取值为0,1,2,3.E(X)E(Y).说明记住公式个数的均值大于没记住公式个说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值数的均值.E(X)+E(Y)=3.说明记住和没记住公式个数的均值之和等说明记住和没记住公式个数的均值之和等于随机抽取公式的个数于随机抽取公式的个数.三三 与与互斥、独立事件有关的分布列的均互斥、独立事件有关的分布列的均值求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查行考查,解答此类问题时应分清事件间的
8、内部联系解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在此基础在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并运并运用相应公式求解用相应公式求解.特别注意以下两公式的使用前提特别注意以下两公式的使用前提:(1)若若A,B互斥互斥,则则P(AB)=P(A)+P(B),反之不成立反之不成立.(2)若若A,B相互独立相互独立,则则P(AB)=P(A)P(B),反之成立反之成立.【典型例题【典型例题3】某校为激发本校学生学习党史、宣传党史的某校为激发本校学生学习党史、宣传党史的热情热情,引导同学们从历史中汲取智慧和力量引导同学们从历史中汲取智慧和力量,学
9、史明理、学史学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行增信、学史崇德、学史力行,某校学生处组织开展某校学生处组织开展“我家的红我家的红色宝藏色宝藏”寻访展示系列活动寻访展示系列活动.高二年级部计划将各班级推选的高二年级部计划将各班级推选的“红色宝藏红色宝藏”集中展览集中展览5天天,选出选出“最具价值藏品最具价值藏品”策划拍成纪录片策划拍成纪录片,在庆祝大会上代表年级展示在庆祝大会上代表年级展示.现计划在五月份选定现计划在五月份选定一周一周(周一周一至周五至周五)展览展览藏品藏品,若当天不下雨若当天不下雨,则在则在“香樟大道香樟大道”室外布展室外布展,如如当天下雨当天下雨,则移至则移至“道梦空间道梦
10、空间”室内布展室内布展.天气预报显示天气预报显示,这一周这一周周一至周五的周一至周五的5天时间内出现风雨天气的概率是天时间内出现风雨天气的概率是:前前2天均天均为为 ,后后3天均天均为为 (假设每一天出现风雨天气是相互独立的假设每一天出现风雨天气是相互独立的).(1)求至少有求至少有1天在天在“道梦空间道梦空间”室内布展的概率室内布展的概率;(2)求在求在“香樟大道香樟大道”室外布展的平均天数室外布展的平均天数.(2)设在设在“香樟大道香樟大道”室外布展的天数为室外布展的天数为X,则则X=0,1,2,3,4,5,规律总结规律总结 若若随机变量求某一值的概率较为复杂时随机变量求某一值的概率较为复
11、杂时,则可以则可以利用分布列的性质求其概率利用分布列的性质求其概率.【跟踪训练【跟踪训练3】甲、乙两人进行围棋比赛甲、乙两人进行围棋比赛,每局比赛甲胜的每局比赛甲胜的概率概率为为 ,乙胜的概率乙胜的概率为为 ,没有和棋没有和棋,采用五局三胜制采用五局三胜制,规定某规定某人先胜三局则比赛结束人先胜三局则比赛结束,求比赛局数求比赛局数X的均值的均值.解解:由题意由题意,得得X的所有可能取值是的所有可能取值是3,4,5.四四 均均值问题的的实际应用用均值在实际中有着广泛的应用均值在实际中有着广泛的应用,如体育比赛的安排和成绩预如体育比赛的安排和成绩预测测,消费预测消费预测,工程方案的预测工程方案的预
12、测,产品合格率的预测产品合格率的预测,投资收益等投资收益等,都可以通过随机变量的均值来都可以通过随机变量的均值来进行进行估算估算.【典型例题【典型例题4】某公司计划某公司计划购买购买2台机器台机器,该种机器使用三年后即该种机器使用三年后即被被淘汰淘汰.机器有一易损零件机器有一易损零件,在购进在购进机机器器时时,可以额外购买这种零件可以额外购买这种零件作为作为备件备件,每个每个200元元.在机器使用期间在机器使用期间,若若备件不足再购买备件不足再购买,则每个则每个500元元.现需决策在购买机器时应同现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件时购买几个易损零件,为此搜集并整理了为此搜集并整理了10
13、0台这种机器在三台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数年使用期内更换的易损零件数,得柱状图如图所示得柱状图如图所示.以这以这100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率,记记X表示表示2台机器三年内共需更换的易损零件数台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买表示购买2台机器的同时购买的易损零件数台机器的同时购买的易损零件数.(1)求求X的分布列的分布列;(2)若要求若要求P(Xn)0.5,确定确定n的最小值的最小值;(3)以购买易损零件所需费
14、用的均值为决策依据以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在在n=19与与n=20之中选其一之中选其一,应选用哪个应选用哪个?解解:(1)由由题中题中柱柱状图并以频率代替概率可得状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年台机器在三年内需更换的易损零件数为内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,且且X的可能取值为的可能取值为16,17,18,19,20,21,22.因此因此P(X=16)=0.20.2=0.04,P(X=17)=20.20.4=0.16,P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24,P(X=19)=20.20.2+2
15、0.40.2=0.24,P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2,P(X=21)=20.20.2=0.08,P(X=22)=0.20.2=0.04.所以所以X的分布的分布列为列为(2)由由(1)知知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故故n的最小值为的最小值为19.(3)记记Y表示表示2台机器在购买易损零件上所需的费用台机器在购买易损零件上所需的费用(单位单位:元元).当当n=19时时,E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.当当n=20时时,E(Y)=202000.88
16、+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当可知当n=19时所需费用的均值小于当时所需费用的均值小于当n=20时所需费用的均时所需费用的均值值,故应选故应选n=19.规律总结规律总结 解答解答概率模型概率模型的步骤的步骤:(1)审题审题,确定实际问题是哪一种概率模型确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件可能用到的事件类型类型,所用的公式有哪些所用的公式有哪些;(2)确定随机变量的分布列确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值计算随机变量的均值;(3)对照实际意义对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论回答概率、均值等所表示的结论.【跟踪训练【跟踪训练4】某商场经销某商品某商场经销某商品,根据以往资料统计根据以往资料统计,顾客顾客采用的付款期数采用的付款期数X的分布列为的分布列为商场商场经销一件该商品经销一件该商品,采用采用1期期付款付款,其利润为其利润为200元元;分分2期或期或3期期付款付款,其利润为其利润为250元元;分分4期期或或5期付款期付款,其利润为其利润为300元元.Y表示表示经销一件该商品的利润经销一件该商品的利润.(1)
