1-4标量场的梯度

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1、1-4标量场的梯度1.4.1等值面（线）由所有场值相等的点所构成的面（线），即为等值面（线）。即若标量函数为u=y.z）,则等值面方程为：II+血y.z）=c=constn/旬1.4.2标量场的梯度U卩商表示为7du1du,du1dudxHdyHdzdxdydz下面由函数定义梯度。设有一标量场U（兀Z）,若从场中某一点位移到晃一点，标量函数弘将变化到u+du，在直角坐标系内，增量又线兀矢量dl=exdx+eydy+ezclz于是血可以表示为+e.+edudxydyz比矢量VU称为标量场的梯度，也可用gradu表示7-du一du-dugradu-vu-ex+ev+e7梯度的性质哗标量场的梯度为一

2、矢量，且是坐标位置的函数*标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量场增加最快的方向（垂直于等值面），幅度表示标量场的最大增加率.du=Vwdl例:=J(兀#)2+(y_旳2+(z_zY,其中11试证明()=)RR22丄1-1证:v(-D)=心-)2+(j-/)2+u-)2R刁=耳三-(兀一V)2+Gyf)2+(zzf)2ox(兀疋)2+G_y，)2+(z_才)22一a+勇?(兀一NF+(yMF+(zzf)2ozex(x-xf)-hey(y-yf)+ez(z-Zf),33(x-y)2+(yy)2+(zz)22v(-)=-4RR32221JVX-)=vi(x-y)2+(yy)2+(z)2

3、=耳亍(乂-KT+(yy)2+(zNFOX+ey(x-V)2+(yy)2+(zNFoy-一江(兀_疋)2+(y_”)2+(z_N)22耳(兀一兀)+耳(yy)+爲(zz)3(x-V)2+(yy)2+(zN)22W丄),3RR31.4.3标量场的方向导数u”苻为U沿d/方向的变化率，称为标量场沿I方向的务向导数。dldldl=Vu-el其中c1也就是说，u沿某个方向的方向导数等于u的梯度在这个方向的投影。例15已知标量场乙心,儿2)=(妒+b+才求空间一4(1,0,1)的梯度和沿方向Z=ev2+evl+2的方向导数。解由梯度公式(128)有Vw(1,0,1)_du_du_du叶刖二乞杰+勺乔+乞乔_.%-y-z一乞(x2+/+z2p+(x2+/+z2)1/2+Jp77+?p一1一17厉7厉7方向的单位矢量为IE2+瓦1+叵21E厂尹2+和+礬)故沿I方向的方向导数为dudl=Vmez(1,0,1)r1一1(1,0,1)迈丿.耗2+和+2)=竽1.4.4矢量场的重要性质（两个重要公式）淡度的散度恒等于零。证明：divrotA）=VVxA）dxdz凤如）二0。旦_生）+匕（dysdzdxdzdxdy_dd_8、L况-/处dAx-0dAxx亠）+（一1）+9dydzdzdxdxdyoxoyozVxV=0=丘=-0