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1、高数上册复习考试2009年12月15日第一章 函数与极限一、 函数1认识一些常用函数和初等函数。2求函数的自然定义域。二、 极限1极限的计算1善于恒等化简和极限的四那么运算法那么2常用的计算方法a常用极限， ， ， = 1 。b一些常用的处理方法(i)分子分母都除以n的最高次幂。例如： = ， = = (ii)根号差的消除。例如： = ， = (iii)指数函数的极限。 = (。(iv)利用指数函数的极限。当=1时， = = = (v)转化为函数的极限可以用洛必达法那么。 = (vi)利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，使容易求得，那么。c当用递归式给出时i用数学归纳法证明是单调
2、有界的，从而存在；ii对的递归式两边取极限得关于的方程，再解出。d记得一些等价关系当 = 0 时，1，3函数极限的计算a2中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。b如果在x0点连续，那么 = 。c记得一些等价关系。lim表示六种极限之一当 = 0 时，1，dlim表示六种极限之一当=1时， = = = e利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，使容易求得，那么。f不定式的极限lim表示六种极限之一(i)当极限是或型的不定式时，可用洛必达法那么： = 洛必达法那么可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。(ii)对于0型的不定式，先变形，再用洛必达法那么。= = = = (iii)对
3、于00、0型的不定式。 = = = = (iv)对于型的不定式，先计算成一个式子再计算。g如果，那么。2极限的证明1证明 = A 的格式证 ，打草稿从不等式解出必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出 *取。当时，由正确推出一般是*的倒推故 = A。证明 = A 的格式证 ，打草稿从不等式解出必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出 *取。当时，由正确推出一般是*的倒推故 = A。其它类型极限的证明格式完全类似。2证明 存在但不管它是什么。用数学归纳法证明单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。三、连续性和间断点1在点连续要证明在点连续就是要证明；如果是分段点，那么要证明。2间断点。1找间断
4、点如果在的两边都有定义但没有定义，那么是的间断点；分段函数的分段点可能是它的间断点。2间断点分类a如果是的间断点并且和都存在，那么是第一类间断点。b如果或至少有一个不存在，那么是第二类间断点。c如果存在即都存在，但没有定义或，那么是可除间断点。重新定义可使变成连续点。3闭区间上连续函数的性质 1零点存在定理。2介值定理。3最值定理。第二章 导数与微分一、导数的计算1 用定义计算导数 当要求导的函数不是初等函数时，比方分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在点的导数。2 用求导公式计算导数 当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。3 复
5、合函数求导1一次复合 如果，那么2屡次复合如果，那么更多层次的复合函数的求导方法类推。4 隐函数求导1一阶导数的求导步骤：a把看成的函数时，是一个恒等式；b用复合函数求导方法对恒等式两边对求导求导时记得中有得新的恒等式； c从解出=。2要求二阶导数时，有两种方法：a用复合函数求导方法恒等式两边对求导求导时记得和中都有得新的恒等式，再从解出=，最后代入=得=。b用复合函数求导方法恒等式=两边对求导求导时记得中有得=，最后代入=得=。更高阶导数的求导方法类推。5 参数表示的函数求导1表示的函数在点的一阶导数2要求二阶导数时，可对表示的函数再次求导：更高阶导数的求导方法类推。6 对数求导法二、高阶导
6、数1 常用函数的高阶导数其中。2 莱布尼茨公式与二项式公式完全类似。 特别注意：当是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简单。三、微分的计算1 函数在点的微分2当复合函数时，微分公式也是3，否那么不可微。四、可导、可微、连续的关系可导可微连续但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|，x=0点。第三章 微分中值定理与导数的应用一、导数的意义是曲线在点切线的斜率；如果是路程函数，那么是在时间时的速度；如果是速度函数，那么是在时间时的加速度。二、中值定理1 费马定理如果是的极值点，并且存在，那么= 0，即是驻点。 费马定理是中值定理的根底。2 罗尔定理条件：结论：至少存在一点使得=0。罗尔定理
7、的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=；=。3 拉格朗日中值定理条件：结论：至少存在一点使得=。拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=。 如果在内可导，那么存在使得其中是的分比。这就是有限增量公式。4 柯西中值定理条件：结论：至少存在一点使得=。5 中值定理的证明题。方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到：中有一项多一局部。三、泰勒公式1 泰勒公式其中余项的主要形式有（1） 拉格朗日余项，在与之间（2） 皮亚假设余项。如果，那么，用次泰勒多项式近似代替产生的误差估计为2 为备用，熟记一些常用函数的麦克劳琳公式的泰勒公式3 用间接法写函数的泰勒
8、公式（1） 作变换：=；（2） 写出关于的麦克劳琳公式：（a） 适当恒等化简，把某组东西看成一个整体，使函数变成麦克劳琳公式的函数；（b） 利用写出麦克劳琳公式；（c） 整理。（3） 代回变量。4.用函数的泰勒公式求极限.四、求极值、最值1 极值问题（1） 极值点的范围 根据费马定理，极值点的范围：全部导数不存在的点和= 0的全部解。（2） 求极值的步骤（a） 求出不存在的全部点：； 求出= 0的全部解：。（b） 逐点用或判断是否极值点，是极大值点还是极小值点；逐点用或定义判断是否极值点，是极大值点还是极小值点。一定要有明确的结论。用判断：用判断：（c） 必要时求出极值。2 求最值1一般情况a
9、最值点的范围 最值点的范围：全部导数不存在的点和= 0的全部解以及端点。b在上求最值的步骤i求出不存在的全部点：； 求出= 0的全部解：。ii相应的点为相应的最值点。如果求最值的区间是、或，那么没有的端点就不在考虑之内。2特殊情况如果i根据问题的实际能判断得知的最大小值肯定在内取得；ii在内不存在或= 0只有一个点。那么就是的最大小值点。五、单调区间，凸性、拐点，渐近线1单调区间求单调区间的步骤：1求出不存在和= 0的全部点：。以为分点分成个小区间；2在的小区间中严格单调上升；在的小区间中严格单调下降。2凸性、拐点求凸性区间、拐点的步骤：1求出不存在和= 0的全部点：。以为分点分成个小区间；2
10、用判断每个小区间的凸性：3如果左右两边的凸性相反，那么是拐点；如果左右两边的凸性相同，那么不是拐点。3渐近线1垂直渐近线如果，那么是的垂直渐近线。可能不只一条。2斜渐近线包括水平渐近线如果， 那么是的渐近线。4曲率和曲率半径第四章 不定积分1 原函数如果，那么称为的一个原函数。2 不定积分的概念固定的随便一个原函数，的全部原函数称为的不定积分其中是任意常数，称为积分常数。因此3 不定积分的计算（1） 概说计算就是要找到的随便一个原函数，然后就得（2） 初等函数不定积分的计算a首先要记熟用熟根本积分表和常用的积分表。b千方百计地把要做的积分化为积分表中的积分。i利用线性性计算不定积分ii第一换元
11、法快速的第一换元法就是凑微分法：iii第二换元法找一个适当的变换，那么换元法的意义在于右边的积分比左边的积分简单。第二换元法主要用来解决一些积分困难。比方根号等。困难分母指数大变换什么难住你，就用换元法除掉它！iv分步积分法原那么：。如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。v当有时如果有实根，那么拆开成两项如果没有实根，那么先配方vi有理函数的积分假分式先用多项式除法其中是多项式，。真分式分解因式设的最高次系数是1待定系数分解把上式右边形式地加起来，比拟两边系数得一个方程组，解此方程组得待定系数的值，代回上式即分解成功。变成几个简单积分 然后递推。有理函数的积分总可以积出来。但比
12、拟麻烦，应用作最后一招。vii万能变换，其中是有理式。由于麻烦，万能变换应用作最后一招。viii的计算a) 当是奇数时，；当是奇数时，；b) 当都是偶数时，。不定积分技巧性强，方法灵活。要一切方法综合运用，一切通过试！第五章 定积分一、 定积分的概念1 定积分定义的四步（1） 分割：。（2） “近似：，。（3） 求和：。（4） 取极限：补充定义2 定积分的几何意义（1） 当时， = 由“围成曲边梯形的面积。（2） 当时， = 由“围成曲边梯形的面积的负值。（3） 当可正可负时， = 由“围成曲边梯形面积的代数和。（4） 当是速度函数时， = 物体从时间到时间的运动路程。二、 定积分的性质1线性性2可加性不管哪个大哪个小，积分能做就行。3单调性，4积分估计 5积分中值定理其中在上连续。三、 上限的函数上限的函数是的一个原函数四、 定积分的计算1牛顿-莱布尼茨公式其中是的随便一个原函数。因此，先用不定积分算出的原函数，再用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。2换元法其中是适中选好的变换，上下限跟踪。左右相等，哪个容易计算就计算哪个。定积分换元法也可解决一些积分困难。3分步积分法，原那么：。如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。4当是奇函数时五、 反常积分1无穷限积分
