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1、静电场的对称性问题太原市十二中 姚维明对称性是事物具有的一种客观不变性。对称性也是物理现象和过程在一定变换条件下所保持的某种不变性，物理学中的对称性也具有普遍性，普遍存在于力，电，光，电磁感应等现象中，如力学中的对称性，电学中的对称性，光学中的对称性同时又各具特点。物理过程中的时间对称性和空间的对称性。物理量在空间分布上的对称及作用效果的对称性等。在物理学中，对称法解题是一种常用的方法，对称法解题具有简洁方便的特点。例题1.库伦定律公式中的r是指两个点电荷之间的距离，对于不能视为点电荷的问题，可以根据带电体的对称性，由微元法，割补法等，运用的等效的思维去处理，化非点电荷为点电荷去处理，化非点电
2、荷为点电荷，这样可使难点得以突破，公式得以运用，从而使问题迎刃而解。下文通过实际问题的解析，看化解的方法。一、场的对称性问题-qqqqqA1半径为R的圆周上五个等距离的点上分别带有电荷量为q、q、q、q、-q的五个点电荷，求它们在圆心处的电场强度。A解析：如图，在A点处先放置电荷量为q的点电荷，由对称性知五个点电荷在圆心处的合电场为零。然后再在A点处放置电荷量为-2q的点电荷，它在圆心处的电场为等效为-2q在圆心处产生的电场。所以 方向由圆心指向A。2如图所示，一个半径为R的圆环均匀带电ab为一段极小的缺口，缺口长为L（LR），圆环带的电荷量为QL 在圆心处放置一带电量为q的负点电荷，试求负点
3、电荷受到的库仑力。解析：本题的带电圆环不能当做点电荷，学生往往找不到方法，我们可以先来讨论一个封闭的圆环的情况。如图所示，再换上任取对称的两点（或两小段）P，对点处的负电荷产生吸引力FP，同样Q对O点处的负电荷产生吸引力FQ，这两个力大小相同，方向相反，合力为零。同理还可以取PQ.等等相互对称的点，都具有相同的结论。而圆环正是由无数这样的点组成的，不难发现，在这样的圆环中心处的点电荷受力为零。再回到例题图，只有与ab缺口相对称的一小段没有与之相对称的对象存在，因此处于O点处的点电荷受到的力就是与ab缺口相对称的一小段ab(如图所示) 对它产生的吸引力.由于ab很短，可以将其视为点电荷，其带电荷
4、量为，由库伦定律可得受力方向指向ab.3一个半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷电荷量为+的电荷，另一电荷量为q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷所受的力为零，现在球壳上挖去半径为r（rR）的一个小圆孔A，此时置于球心的点电荷所受的电场力的大小为多少？（已知静电力常量为k）,方向如何？解析：挖去的小圆面上带的电量.设想它仍在球面上原处，由于r E1 B项错，D项对，正确的选项为D。对称解读：带电薄板和点电荷的电场都具有对称性。等量异号（或同号电荷）的电场具有对称性。带电量相等的异号带电粒子在同一电场中运动轨迹具有对称性。图44带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的
5、垂线通过板的几何中心若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为，方向(静电力恒量为k)解析：均匀带电薄板在ab两对称点处产生的电场强度大小相等、方向相反，具有对称性。点电荷+q在a点处产生的电场强度由点电荷电场强度公式可得Eq=kq/d2，方向向左。题述带电薄板和点电荷+q在a点处的合电场强度为零，因此带电薄板在a点处产生的电场强度为E= Eq=kq/d2，方向垂直于薄板向右。根据对称性，带电薄板在b点处产生的电场强度为Eb=kq/d2，方向垂直于薄板向左。4如图所示，一块长金属板MN接地，一带电量为+Q的点电荷A与金属板之间的垂直距离为d，求A与板MN连
6、线中点C处的电场强度。0 kQ/9d2，方向向左。解析：因金属板MN接地，其电势为零，连线中点C处的电场与两个相距2d的等量异种点电荷电场中距+Q为d/2处的电场强度相同，不妨用一个处在+Q左侧距离为2d的点电荷-Q代替大金属板，根据点电荷电场强度公式，点电荷+Q在C处产生的电场强度为E1=，方向向左；点电荷-Q在C处产生的电场强度为E2=，方向向左；A与板MN连线中点C处的电场强度E= E1+ E2=4kQ/d2+4kQ/9d2=4.5如图1所示，匀强电场E的区域内，在O点放置一点电荷Q.a、b、c、d、e、f为以O为球心的球面上的点，aecf平面与电场平行，bedf平面与电场垂直，则下列说
7、法中正确的是 ()Ab、d两点的电场强度相同Ba点的电势等于f点的电势C点电荷q在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功D将点电荷q在球面上任意两点之间移动时，从a点移动到c点电势能的变化量一定最大解析：b、d两点的场强为Q产生的场与匀强电场E的合场强，由对称可知，其大小相等，方向不同，A错误；a、f两点虽在Q所形电场的同一等势面上，但在匀强电场E中此两点不等势，故B错误；在bedf面上各点电势相同，点电荷q在bedf面上移动时，电场力不做功，C错误；从a点移到c点，Q对它的电场力不做功，但匀强电场对q做功最多，电势能变化量一定最大，故D正确答案：D6如图甲所示，ab是半径为R的圆的一条直径
8、，该圆处于匀强电场中，场强为E，在圆周平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动能最大已知cab=300，若不计重力和空气阻力，试求：(1)电场方向与直径ab间的夹角；(2)若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直,小球恰好能落在c点，则初动能为多少?解析：由于从a点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时，其中到达c点的小球动能最大，因此过c点的切线一定是等势线，由此可以确定电场线的方向，至于从a点垂直于电场线抛出的小球可以做平抛运动处理。（1）用对称性判断电场的方向：有题设条件，在圆周平面内，从
9、a点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球，小球会经过圆周上不同的点，且以经过c点时小，可知电场线平行于圆平面，又根据动能定理，电场力对到达c点的小球做功最多为qUac。因此Uac最大即c点的电势比圆周上任何一点的电势都低，又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc，圆周上各点的电势对于Oc对称（或作过c点且圆周相切的线cf是等势线）Oc方向即为电场方向(如图乙所示)，它与直径ab的夹角为600 (2)小球在匀强电场中做类平抛运动小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为v0，小球质量为m在垂直于电场线方向，有： x v0t 在沿电场线方向，有y at 2 由图中几何关系可得： x Rcos300
10、y R(1十cos600) 且：a = 将、式代入、两式解得：v02所以初动能：Ek0mv02 = 设待求的电场强度为E2，因为E1+E2=0，可得 E2=E1=9102NC 负号表示E2与E1反向，背向球心向左。 二、运动的对称性（1）类竖直上抛运动的对称性例1、板长为L的平行金属板与水平面成角放置，板间有匀强电场。一个带负电电量为q质量为m的液滴，以速度V0垂直于电场方向射入两板间，如图甲，射入后液滴沿直线运动，两极板间的电场强度E= ，液滴离开电场时的速度为 。图乙分析与解答液滴在电场中受到重力mg和电场力F两个力的作用，由于液滴沿直线运动，由直线运动的条件可知：两个力的合力必须与速度共
11、线。所以电场力的方向是垂直金属板斜向上，如图乙，由几何关系可得：F=Eq=mgCos，解得：E=由动能定理可得：（注：电场力不做功）-mgLSin=，解得：v=注解决液滴离开电场时的速度也可以采用牛顿第二定律和运动学公式求解：F合=mgSin=ma，解得：a=gSin由运动学公式：vt2-v02=2as可得：v=练习3.板长为L的平行金属板与水平面成角放置，板间有匀强电场。一个带负电电量为q质量为m的液滴，以速度v0垂直于电场方向射入两板间，如图甲，射入后液滴沿直线运动，两极板间的电场强度E= ，液滴离开电场时的速度为 。v=练习4.有两个完全相同的金属球A、B，如图，B球固定在绝缘地板上，A
12、球在离B球为H的正上方由静止释放下落，与B球发生对心碰后回跳的高为h设碰撞中无动能损失，空气阻力不计 ( )A若A、B球带等量同种电荷，则hHB若A、B球带等量同种电荷，则h=HC若A、B球带等量异种电荷，则hH D若A、B球带等量异种电荷，则h=H练习5如图所示，一个带负电的油滴质量为m，带电量为q，以初速v0从P点倾斜向上进入水平方向的匀强电场中，初速度与电场的夹角为。若电场足够大，求：（1）油滴沿原路返回出发点经过的时间。(2)油滴运动的最远路程。(3)小球运动到最高点时其电势能与在O点的电势能之差。练习6.一个带负电的小球，质量为M、电荷量为q。在一个如图所示的平行板电容器的右侧板边被
13、竖直上抛，最后落在电容器左侧边同一高度处，若电容器极板是竖直放置，两板间距离为d，板间电压为U，求电荷能达到的最大高度及抛出时的初速度。解：小球在竖方向做竖直上抛运动,时间、速率对称等大。最大高度上升到最大高度所用的时间（2）圆周运动的对称性1绝缘的半径为R的光滑圆环，放在竖直平面内，环上套有一个质量为m，带电量为-q的小球，它们处在水平向右的匀强电场中，电场强度为E（如图所示），且qE=mg，小环从水平直径上的B点由静止开始滑动，下列下列说法正确的是：A小球的最大动能在最低点B小球的最大速度在CD之间C小球运动的最高点在A点D小球运动的最高点在AD之间OAB2如图，用细线栓一带负电小球在方向竖直向下的匀强电场中，在竖直面内做圆周运动，电场力大于重力，下列说法正确的是（ ） A、小球到最高点A时，细线张力一定最大 B、小球到最低点B时，细线张力一定最大 C、小球到最低点B时，小球线速度一定最大 D、小球到最低点B时，小球电势能一定最大（3）往复运动的对称性练习1如图，AD是电极板，BC是有孔的金属棱柱筒。从A极释放的一个无初速度的电子向B板方向运动， （1）电子能否到达D极板？（2）电子将在A、D间做什么运动？（3）若电源电动势为2U、3U电子还能到达D板吗？（
