《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教版选择性必修第一册（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.2抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目 标 素素 养养1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.了解直线与抛物线的位置关系及其判断方法了解直线与抛物线的位置关系及其判断方法.3.通过抛物线与其方程的学习通过抛物线与其方程的学习,进一步体会数形结合的思想进一步体会数形结合的思想.4.通过学习通过学习,提升数学抽象、数学运算等核心素养提升数学抽象、数学运算等核心素养.知知 识 概概 览课前基础认知1.抛物线的几何抛物线的几何性质性质 微
2、思考微思考1(1)从对称性、顶点个数、焦点个数、离心率等方从对称性、顶点个数、焦点个数、离心率等方面分析面分析,抛物线与椭圆、双曲线的几何性质有哪些差异抛物线与椭圆、双曲线的几何性质有哪些差异?提示提示:抛物线与椭圆、双曲线的几何性质有以下差异抛物线与椭圆、双曲线的几何性质有以下差异:对称性对称性:椭圆与双曲线都既是轴对称图形也是中心对称图椭圆与双曲线都既是轴对称图形也是中心对称图形形,但抛物线只是轴对称图形但抛物线只是轴对称图形,不是中心对称图形不是中心对称图形;顶点个数顶点个数:椭圆有椭圆有4个顶点个顶点,双曲线有双曲线有2个顶点个顶点,而抛物线只而抛物线只有有1个顶点个顶点;焦点个数焦点
3、个数:椭圆和双曲线都有椭圆和双曲线都有2个焦点个焦点,但抛物线只有但抛物线只有1个个焦点焦点;离心率离心率:椭圆的离心率满足椭圆的离心率满足0e1,而抛物线的离心率是一个定值而抛物线的离心率是一个定值,恒等于恒等于1.(2)抛物线的焦点、顶点、准线、对称轴之间的相对位置关抛物线的焦点、顶点、准线、对称轴之间的相对位置关系如何系如何?提示提示:抛物线的焦点始终在对称轴上抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称线的准线与对称
4、轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.2.直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系有三种直线与抛物线的位置关系有三种:相离相离、相切相切、相交相交.微思考微思考2怎样判断直线与抛物线的位置关系怎样判断直线与抛物线的位置关系?提示提示:将直线方程与抛物线方程联立组成方程组将直线方程与抛物线方程联立组成方程组,消去消去y(或或x)得到一个关于得到一个关于x(或或y)的方程的方程.(1)若得到的方程为一次方程若得到的方程为一次方程,则直线与抛物线相交则直线与抛物线相交,只有一只有一个公共点个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行此时直线与抛物线的对称轴平行;(2)若得到的方程为
5、一元二次方程若得到的方程为一元二次方程,则则0直线与抛物线相交直线与抛物线相交.3.抛物线的焦半径与焦点弦抛物线的焦半径与焦点弦(1)焦半径焦半径:连接抛物线上一点连接抛物线上一点A(x0,y0)与焦点与焦点F得到的线段得到的线段AF叫做焦半径叫做焦半径,焦半径焦半径AF的长度如下的长度如下:(2)焦点弦的概念焦点弦的概念:过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段的线段,称为抛物线的焦点弦称为抛物线的焦点弦.(3)通径通径:过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦交所得的弦,称为抛物线的通径称为抛物线的通径
6、,抛物线的通径长为抛物线的通径长为2p,是所有是所有焦点弦中长度最短的弦焦点弦中长度最短的弦.微微训练 已知已知过抛物线过抛物线y2=4x的焦点的焦点F作直线交抛物线于点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若若x1+x2=6,则则|AB|的值为的值为()A.10B.8C.6D.4答案答案:B解析解析:因为因为y2=4x,所以所以2p=4,p=2.由抛物线的定义知由抛物线的定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,故故|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8.课堂重难突破一一 抛物抛物线几何性几何性质的的应用用典例剖析典例剖析1.(1)顶点在原点顶点在原点,
7、对称轴为对称轴为y轴轴,顶点到准线的距离为顶点到准线的距离为4的抛物的抛物线方程是线方程是()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=8y D.x2=16y(2)已知等边三角形已知等边三角形AOB的顶点的顶点A,B在抛物线在抛物线y2=3x上上,O为坐为坐标原点标原点,则则AOB的面积等于的面积等于.解析解析:(1)顶点在原点顶点在原点,对称轴为对称轴为y轴的抛物线方程为轴的抛物线方程为x2=-2py或或x2=2py,p0.由顶点到准线的距离为由顶点到准线的距离为4知知p=8,故所求抛物线故所求抛物线方程为方程为x2=16y或或x2=-16y.(2)由于由于AOB是等边三角形是等边三角形,所以
8、所以|OA|=|OB|,由抛物线的对由抛物线的对称性可知点称性可知点A,B关于关于x轴对称轴对称,于是于是AOx=BOx=30.若设若设A(x0,y0)(x00,y00),学以致用学以致用1.(1)已知以已知以x轴为对称轴的抛物线的通径轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称过焦点且与对称轴垂直的弦轴垂直的弦)长为长为8,若抛物线的顶点在坐标原点若抛物线的顶点在坐标原点,则抛物线的则抛物线的方程为方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或或y2=-8xD.x2=8y或或x2=-8y(2)已知面积为已知面积为16的等腰直角三角形的等腰直角三角形POQ内接于抛物线内接于抛物线y2=2
9、px(p0),O为坐标原点为坐标原点,且为直角顶点且为直角顶点,则抛物线的方程为则抛物线的方程为.答案答案:(1)C(2)y2=4x解析解析:(1)设抛物线的方程为设抛物线的方程为y2=2px(p0),将将 代入代入y2=2px得得y=p,依题意得依题意得|2p|=8,则则|p|=4.抛物线的方程为抛物线的方程为y2=8x或或y2=-8x.(2)由已知得由已知得|OP|=|OQ|,POQ=90,因此因此POx=QOx=45,若设若设P(x0,y0)(x00,y00),则则x0=y0,于是有于是有 ,解得解得x0=4,y0=4,因此有因此有42=2p4,解得解得2p=4,故抛物线的方程为故抛物线
10、的方程为y2=4x.二二 直直线与抛物与抛物线的位置关系的位置关系典例剖析典例剖析2.已知过点已知过点(-3,2)的直线与抛物线的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点只有一个公共点,求求此直线的方程此直线的方程.解解:显然直线的斜率存在显然直线的斜率存在,可设直线方程为可设直线方程为y-2=k(x+3),当当k=0时时,方程方程化为化为-4y+8=0,得得y=2,此时过点此时过点(-3,2)的直线的直线方程为方程为y=2,满足条件满足条件.互动探究互动探究(变条件变条件,变问法变问法)已知直线已知直线l:y=kx+1与抛物线与抛物线C:y2=4x有两个有两个公共点公共点,求求k的取值范围的取值
11、范围.直线直线l与抛物线与抛物线C只有一个公共点只有一个公共点,不符合题意不符合题意;当当k0时时,(*)式是一个一元二次方程式是一个一元二次方程,=(2k-4)2-4k2=16(1-k).当当0,即即k0)的直线的直线l与与抛物线相交于抛物线相交于M,N两点两点,且且|MF|=3|NF|,则则k=.解析解析:分别过分别过M,N两点作准线的垂线两点作准线的垂线,垂足分别为垂足分别为P,Q,过点过点N向向PM作垂线作垂线,垂足为垂足为S(图略图略).设设|NF|=m,则则|MF|=3m,由抛物线由抛物线的定义得的定义得|MP|=3m,|NQ|=m,所以所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m
12、,四四 利用抛物利用抛物线的几何性的几何性质求最求最值典例剖析典例剖析4.已知点已知点M(-2,0),P是抛物线是抛物线y2=-6x上任意一点上任意一点,试求试求|PM|的的最小值最小值.学以致用学以致用4.若若P为抛物线为抛物线y=x2上一动点上一动点,直线直线l:y=x-1,则点则点P到直线到直线l距距离的最小值为离的最小值为.随堂训练1.设抛物线的顶点在原点设抛物线的顶点在原点,其焦点其焦点F在在y轴上轴上,若抛物线上的点若抛物线上的点P(k,-2)到点到点F的距离为的距离为4,则则k的值是的值是()A.4B.4或或-4C.-2D.2或或-2答案答案:B解析解析:由题意可设抛物线的方程为
13、由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p0),2.若点若点P在抛物线在抛物线x2=-12y上上,且点且点P到抛物线的准线的距离为到抛物线的准线的距离为d,则则d的取值范围是的取值范围是()A.6,+)B.3,+)C.(6,+)D.(3,+)答案答案:B解析解析:由已知得由已知得2p=12(p为焦点到准线的距离为焦点到准线的距离),则则 =3,因此因此d的取值范围是的取值范围是3,+).3.抛物线抛物线x=2y2的最短的焦点弦长度为的最短的焦点弦长度为()答案答案:C 4.过点过点(1,1)与抛物线与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有只有一个公共点的直线有()A.一条一条B.两条两条C.三条
14、三条D.四条四条答案答案:B解析解析:因为点因为点(1,1)在抛物线在抛物线y2=x上上,所以过点所以过点(1,1)且与且与y2=x只有只有一个公共点的直线有两条一个公共点的直线有两条,其中一条为切线其中一条为切线,一条为平行于一条为平行于x轴轴的直线的直线.5.设抛物线设抛物线y2=8x的准线与的准线与x轴交于点轴交于点Q,若过点若过点Q的直线的直线l与抛与抛物线有公共点物线有公共点,则直线则直线l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是.答案答案:-1,1解析解析:由题意知由题意知,直线直线l的斜率存在的斜率存在.设直线设直线l的方程为的方程为y=k(x+2),由由 消消去去x,整理得整理得ky2-8y+16k=0.当当k=0时时,直线直线l与与抛物线有一个公共点抛物线有一个公共点;当当k0时时,由由=64-64k20,解解得得-1k1,又又k0,所以所以-1k0或或0k1.综上可得综上可得,直线直线l的斜率的的斜率的取值范围是取值范围是-1,1.6.已知已知F是抛物线是抛物线y2=6x的焦点的焦点,点点A(4,0),若点若点P是抛物线上任是抛物线上任意一点意一点,则则 的的最小值等于最小值等于.答案答案:6
