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1、1二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1已知一个二次函数图象经过(-1，10)、( 2，7)和(1，4)三点，那么这个函数的解析式是。2分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系2数a, b , c,进而获得解析式 y=ax +bx+c.二、交点型2 2例2已知抛物线
2、y=-2x+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax +bx+c的图像经过A点,且与x轴交于B(0，0)、C(3，0)两点，试求这个二次函数的解析式。 . . 2分析要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x +8x-9的顶点A (2， -1 )。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a= 211 23x x二 y= 2 x(x-3),即 y= 22 .三、顶点型2例3 已知抛物线y=ax +bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m) 2 +k.在本题中可设y=a(x+1
3、) 2 +4.再将点(1,2)代入求得a=-2(x 十1)2 十4, y=- 2-x 72.1 2X 即 y=- 2由于题中只有一个待定的系数 a,将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型2例4 二次函数y=x +bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数y =x2 -2x 人则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1的顶点(1, 0)先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3, -3)。2y=xbx c = (x -3)2-3=x -6x 6. b=-6,
4、c=6.因此选(B) 五、弦比型2例5已知二次函y=ax +bx+c为x=2时有最大值2,其图象在X轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A (1, 0) , B ( 3, 0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6.六、识图型丄 X2 +(b +2)x+cx2 +(b 2)x + dP,例6如图1,抛物线y= 2与y= 2其中一条的顶点为 另一条与X轴交于M、N两点。(1) 试判定哪条抛物线与 X轴交于M、N点?(2) 求两条抛物线的解析式。1
5、x2 +(b +2)x+c(1) 抛物线y= 2与x轴交于M，点(过程从略)；x2 +(b -2)x +d一(2) 因y= 2的顶点坐标为(0, 1), b-2=0,d=1, b=2.1 2x Y=21 2x将点N的坐标与b=2分别代入y=2+(b+2)x+c得c=6.1 2x2+4x+6七、面积型例7已知抛物线y=x bx c 的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q (0, 与x轴的交点为A、B,顶点为P, PAB的面积为8。求其解析式。2解 将(0, -3)代入 y= x bx c 得 c=-3.由弦长公式，得AB Zb? +12-12-b2点P的纵坐标为4由面积公式，得一12 b
6、24解得b = ：2因对称轴在y轴的右侧， b=-2.2所以解析式为y=x -2x-3八、几何型2例 8已知二次函数y= x -mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的 顶点组成一个等边三角形，求其解析式。 2解由弦比公式，得AB八;m 4(2m-4) = m4(m4)2顶点C的纵坐标为-4 / ABC为等边三角形242解得m=4 - 2 3-故所求解析式为|uy=x -(4 2 -3)x 4 4、. 3,或 y= x 2 3)x 4 莊 3九、三角型12例9已知抛物线 y=x +bx+c的图象经过三点(0, 25 )、(si nA , 0)、(sinB, 0)A、B为直角三角
7、形的两个锐角，求其解析式。解 / A+B=90 0, sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得sin A +cosA = -b sin A cosA = c1212将（0, 25 ）代入解析式，得 c= 25（1） 2-（2）2 ,得24225/ -b ， b=- 5x27x + U所以解析式为y= 525十、综合型例1如图2，已知抛物线y=- px q与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若/ ACB=90 ，且 tgZ CAO-tg / CBO=2，求其解析式.解 设A , B两点的横坐标分别为X1X，则q=（_x1）伙2 =AQB.由 AOC COB，可得 OC 2 =OA OB ,
8、2-q =q 解得 q1=1,q 2=0 （舍去），OC OC又由 tg / CAO-tg / CBO=2 得 OA OB即 X1 X 2x i+x 2 =-2x ix 2 即 p=2p=2所以解析式为y=-x 2+2x+1y/1丿/B函数及其图象例1.二次函数性质的应用例2.利用二次函数性质求点的坐标例3.求二次函数解析式 例4.求二次函数解析式二、同步测试三、提示与答案例6.已知抛物线y = ax2 + bx+c如图所示，对称轴是直线x = - 1(1) 确定 a. b. c. b2- 4 ac 的符号，(2) 求证 a- b + c v o;(3) 当x取何值时，y随x值的增大而减小。解
9、：(1)由抛物线开口向上，得出a 0 ,由抛物线与y轴交点坐标为(O, C),而此点在x轴下 方，得出c v 0,又由抛物线的对称轴是x=- 1 ,在y轴左侧，得出b与a同号二b 0。抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bc + c =0有两个不等的实根，b2- 4a c 0(2) 当 x = - 1 时，y = a- b + c v 0(3) 当x v - 1时，y随x值的增大而减小。例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x = 3时，y取得 最小值-2。( 1)求这个二次函数的解析式(2)若此函数图象上有一点P,使 PAB的面积等于12 个平方单位，求P点坐
10、标。分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3 ,根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截 得线段AB的长是4 ,可知其与x轴交点为(1 ,0) ,(5,0)解：(1) T当x = 3时y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3 , -2). 设二次函数解析式为2y=a( x-3) - 2又图象在x轴上截得线段AB的长是4,图象与x轴交于(1 ,0)和(5 ,0)两点1 a( 1 - 3) 2- 2 = 0 a=.ii _a所求二次函数解析式为y= . x2-3x +(2) T PAB的面积为1 2个平方单位，| AB | =4丄.X 4 X | Py | =1 2 | Py | =6 Pg= 6但
11、抛物线开口向上，函数值最小为-2 , Py = - 6应舍去， Pg = 6又点P在抛物线上，丄 -L 6 = x2-3x+-xi=-1,X2=7即点P的坐标为(-1 , 6)或(7,6)说明：此题如果设图象与X轴交点横坐标为x1 , X2 ,运用公式| X1-X2 | =J(* +用)*7心也,会 使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。例8.女口图，矩形 EFGH内接于 ABC。E、F在 AC边上 H、G分另U在 AB、BC边上,AC=8cm,高 BD=6cm, 设矩形的宽HE为x( cm)。试求出矩形EFGH的面积y( cm2)与矩形EFGH的宽x( c
12、m)间的函数关系 式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少？解：四边形EFGH是矩形 HG/ AC ABCs HBG设BD交HG于M贝U BD与BM分别是 ABC和 HBG的高。BDBMHG/ AC,MD=HE=x, BM=6- x86=HG6=1(6x)HG=3y=S 矩形 efgh= HE* HGy =x3.整理得y = - x2 + 8x/ BD=6自变量x的取值范围是0 v x v 63. x2的系数为-v 0 , y有最大值=3时，=124所求函数的解析式为y = - x2+8x(0 v x v 6),当它的宽 大面积为12cm2。为3cm时，矩形EFGH面积最大，
13、最例9.二次函数y = ax2+bx- 5的图象的对称轴为直线x = 3 , 是方程ax2 + bx- 5 = 0的 两个根，且X 1 2 + x22=2 6,又设二次函数图象与y轴相交于点B，设x1, x2 图象顶点为A,(1) 求二(2) 求原次函数的解析式占八、O到直线AB的距离 =3_b_又 x 1 +X2=- $ =6X1 * X2 = -由已知，有x 1 2 + x22 = 2 6 , ( x1 +x2) 2- 2x1x2 = 26bl -即(-思)2+ =26, $ =26- 36解得a = - 122解 析式为 y =- x +6x- 5 =- ( x- 3) +4(2) T 0B=5, OC=4, AC=3. AB=r y=3 小又 OA=：J 一 * =5 AOB为等腰三角形，作0D丄AB于D, BD= 制4ob7-bd2 OD=,/io即原点O
