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1、2广义积分的收敛判别法广义积分f无穷限的广义积分 i无界函数的广义积分无穷限广义积分的收敛判别法二.无界函数广义积分的收敛判别法一.无穷限广义积分的收敛判别法定理1设/(x) wCq, + oo),且/(x)0,若函数r X.F(x) = JJ a在q, + 00)上有上界,则广义积分/(x)dx收敛.证：0/(x)0, F在0, +力)上单调递增有上界,根据极限收敛准则知2020/3/72020/3/7Xlim F(x) = lim /(r)d t 兀一 +00x +00 J a-+00 存在，即广义积分/(x)dx收敛.2020/3/7宁波大学教师教育学隔2020/3/7定理2. （ Ca
2、uchy收敛原理） 广义积分广于（兀/兀收敛Vg 0, EA） a，使对 VA, A 丸者有I f （x）dx l 证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。柯西(Cauchy, Augustin Louis 1789-1857), 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月R日生 于巴黎。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成 就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来 在巴黎大学任教授，一直到逝世。在代数学上，他有 行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光 学弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在 分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证
3、 明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了分析教程、无穷小计算讲义无穷小计算在几何中的应用这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用, 连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基2020/3/7+ 00走理3(比较原理)设/w C Q, + 00),且对充 分大的兀有 0f(x) f /(x)d收敛CI-+OOJuJ af+X /(x)dx 发散匸= f+GCg(x)dx 发散 Jci Ja证：不失一般性，设兀u a,+ 8)吋,0 /(x) g
4、(x) 若g(x) dx收敛，则对Ia有C f(x)dx Pg(x)dx1/ 小说明：已知 j(G0)儿xP l发散，p 0)作比较函数，得下列比较判别法.定理4（比较判别法1）设非负函数/（x）eCo, + s） （6Z 0）.1）若存在常数A7 0,卩1,使对充分大的x有 fM %r+x /（x）dx 收敛；J a2）若存在常数N0, pl,使对充分大的x有x则fix) dx 发散.例1 -判别广义积分J73：齐J dx的收敛性.?.曲-c 丿sirrx11解：00l,O5/+oo 时 /（X）dx收敛；+x2）当7?1,0/+oo 时 jX/（x）dx发散.证：1）当pl时,根据极限定义
5、，对取定的0,当兀充 分大时，必有X/（X）W/ + ,即0 /（X） 0,使/ y 0, (/ = +s时用任意正 数N代替！-),必有XP f (x) 1-8即/(X) 1 f N (N = / 刃x1 X可见j+0/(x)d x发散注意：lim x/7/(x) = lim 此极限的大小刻回了XT+oo x-+cc例2判别广义积分厂-严2的收敛性Xi 1 I X解： 0 lim x2 / = limX-+oo XJl + X2XT+8根据极限判别法1 ,该积分收敛.32例3判别广义积分JJjdx的收敛性.1 X“1 Jr2舫： 9 lim x2y = lim = 1兀 T+QO1 + %2
6、 兀+兀么根据极限判别法1,该积分发散.定理6若/*(x) u Co,+ oo),且 J； f (x)|dx收敛, 则广义积分/(劝&收敛.+00证:令0（兀）=”（兀）+ |/（兀）|,则 0（x） 0） 的收敛性.解：因|e_6/xsinbxcax,而 气一v dx收敛,根据比Josinbx I dx收敛,故由定理6知所较判别法知给积分收敛（绝对收敛）.J2020/3/7宁波大学教师教育学院二、无界函数广义积分的收敛判别法无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分例如设/w C(a,b,a为/的瑕点，由定义f7(x)dx = limj/(x)dx令 a + l,则有tbf(x)dx= li
7、m 半to+丙t t 口t r因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数 的广义积分中来2020/3/7宁波大学教师教育学院利用、b 1收敛，ql类似定理4与定理5 ,有如下的收敛判别法.定理7（比较判别法2）设非负函数/心,切瑕点，使对一切充分接近。的兀（兀。）.4 一 、 M1）若存在常数M0,q0,有于旦x-arbr h则 f（x）dx发散.2020/3/7宁波大学教师教育学院走理3定理8(极限判别法2)若f(x)eC(a,b9且/(x)0, lim (x _ a)。f (x) = IX+8则有：1)当 0 q 1. 0 / +oc 时7(x) dx收敛；J cC2)当q 2 1
8、, 0 / i+ lnx xti+ :根据极限判别法2 ,所给积分发散2020/3/7宁波大学教师教育学院例6 判定椭圆积分匸 敛性.dxJ（1-兀 2）（1 宀）伙2 1）的收1J2（l-疋）解：此处兀=1为瑕点，由于. 1 11（1-兀尸 J（/）（ /兀2）=lim /c“ 7（l + x）（l-fc2x2）根据极限判别法2 ,椭圆积分收敛.类似定理6,有下列结论：若广义积分fMdx （a为瑕点）收敛，则广义积分，bfMdx收敛，称为绝对收敛.a例7判别广义积分Ljdx的收敛性解：此处兀=0为瑕点，因lim= 古攵对充分小Ix-0+的x,有lnx|l,从而|lnx| | %lnx 0）
9、（含参变量s的广义积分） +ooJlxsrexdx下面证明这个特殊函数在S 0内收敛.令厶e_xdx, I2 =1）讨论厶.当sl时,厶是定积分；当0sl时，产=2丄厶X1 5 ex XH而1-sl,根据比较判别法2知人收敛.J2020/3/7宁波大学教师教育学院2)o）/ -jqq*400证：r（s +1） = J。x5e_Adx = -jo x5 de_x （分部积分） +oo c +oo 1=-x5e_% +J xedx0 Jo注意到：= 1.EwN+,有r（n + l） =nr（n） = n（n-l）r（n-l）(2) 当stO+ 时,T(s)t+oo.证： 9 r()= r12? r(i)= 1 s且可证明：r(s)在so连续，S T 0+时，r(s) T +00(3) 余元公式：(s)(l s)二71(0 0）令X = ，得“）=2点”严1口0）再令2s -1 “,即s =凹,得应用中常见的积分厂化-怙二护字）-1）Jo22这表明左端的积分可用r函数来计算.例如,1（ ）7 v 9 7?宁波大学教师教育学院Hs *A-D
