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1、2.1等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质素养素养目目标定位定位课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破随随 堂堂 训 练素养目标定位课前基础认知1.不等关系不等关系不等关系常用不等关系常用不等式不等式来表示来表示.2.实数实数a,b的大小比较的基本事实的大小比较的基本事实3.重要不等式重要不等式一般地一般地,a,bR,有有a2+b22ab,当且仅当当且仅当a=b时时,等等号成立号成立.4.等式的基本性质等式的基本性质(1)性质性质1:如果如果a=b,那么那么b=a.(2)性质性质2:如果如果a=b,b=c,那么那么a=c.(3)性质性质3:如果如果a=b,那么那么ac=bc.(4)性质性质
2、4:如果如果a=b,那么那么ac=bc.(5)性质性质5:如果如果a=b,c0,那么那么5.不等式的基本性质不等式的基本性质(1)性质性质1:abbb,bcac.(3)性质性质3:aba+cb+c.(4)性质性质4:ab,c0acbc;ab,c0acb,cda+cb+d.(6)性质性质6:ab0,cd0acbd.(7)性质性质7:ab0anbn(nN,n2).微微提醒提醒1.在在应用不等式时应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提一定要搞清它们成立的前提,不可不可强化或弱化成立的条件强化或弱化成立的条件.2.要要注意每条性质是否具有可逆性注意每条性质是否具有可逆性.课堂重难突破一一 用用不等式不
3、等式(组)表示不等关系表示不等关系典例剖析典例剖析1.已知某列车的速度为已知某列车的速度为v1(单位单位:km/h),这个速度的这个速度的2倍再加上倍再加上100 km/h,不超过民航飞机的最低速度不超过民航飞机的最低速度v2(单位单位:km/h),可列车可列车的速度已经超过了普通客车速度的速度已经超过了普通客车速度v3(单位单位:km/h)的的3倍倍,请你用请你用不等式表示三种交通工具的速度关系不等式表示三种交通工具的速度关系.解解:由题意由题意,得得v1,v2的关系为的关系为2v1+100v2,v1,v3的关系为的关系为v13v3.规律总结规律总结用不等式用不等式(组组)表示不等关系的步骤
4、表示不等关系的步骤(1)读懂题意读懂题意,找准不等式所联系的量找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示多个不等关系用不等式组表示.提醒提醒:在用不等式在用不等式(组组)表示实际问题时表示实际问题时,一定要注意单位的统一定要注意单位的统一一.学以致用学以致用1.用一段长为用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长墙长18 m,要求菜园的面积不小于要求菜园的面积不小于100 m2,靠墙的一边长为靠墙的一边长为x m.试试用不等式表示其中的不等关系用不等式表示其中的不等关系.解解:由于矩形菜园靠墙
5、的一边长为由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为而墙长为18 m,所以所以00,(3x2+1)(x-1)0,3x33x2-x+1.规律总结规律总结作作差法比较两个实数大小的基本差法比较两个实数大小的基本步骤步骤学以致用学以致用2.(1)若若a=3x2-x+1,b=2x2+x,则则()A.abB.ay0,试比较试比较x3-2y3与与xy2-2x2y的大小的大小.解解:由由题意题意,知知(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y-2y3=x(x2-y2)+2y(x2-y2)=(x2-y2)(x+2y)=(x-y)(x+y)(x+2y).xy0,x-y0,x+y0,x+2y0
6、,(x3-2y3)-(xy2-2x2y)0,即即x3-2y3xy2-2x2y.三三 利用利用不等式的性不等式的性质判断或判断或证明不等式明不等式典例剖析典例剖析3.(1)设设ab0,cdb,ef,c0.求证求证:f-acb,c0,acbc,-ac-bc.fe,f-ace-bc.规律总结规律总结1.利用不等式的性质判断命题真假的两种方法利用不等式的性质判断命题真假的两种方法(1)直接法直接法:对于真命题对于真命题,要利用不等式的相关性质证明要利用不等式的相关性质证明;对于假对于假命题命题,只需举出一个反例即可只需举出一个反例即可.(2)特殊值法特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则注意取值一定要遵
7、循三个原则,一是满足题设条件一是满足题设条件;二是取值二是取值要简单要简单,便于验证计算便于验证计算;三是所取的值要有代表性三是所取的值要有代表性.2.利用不等式的性质证明不等式的思路利用不等式的性质证明不等式的思路(1)利用性质对不等式进行变形利用性质对不等式进行变形,变形要等价变形要等价.(2)寻找欲证不等式成立的已知条件寻找欲证不等式成立的已知条件,利用相应的不等式性质利用相应的不等式性质证明证明.提醒提醒:利用性质时要注意性质适用的前提利用性质时要注意性质适用的前提.学以致用学以致用 四四 利用利用不等式的性不等式的性质求取求取值范范围典例剖析典例剖析4.已知已知1a4,2b8.试求试求2a+3b与与a-b的取值范围的取值范围.解解:1a4,2b8,22a8,63b24.82a+3b32.2b8,-8-b-2.又又1a4,1+(-8)a+(-b)4+(-2),即即-7a-b2.故故82a+3b32,-7a-b2.互动互动探究探究 2.(变条件变条件)若将本例条件若将本例条件“1a4,2b”,“超过超过”即即“”,x95,y380,z45.答案答案:C 3.若若1a5,-1b2,则则a-b的取值范围为的取值范围为.答案答案:-1a-b6解析解析:-1b2,-2-b1,又又1a5,-1a-b6.
