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1、章末核心素养整合章末核心素养整合知知识体系构建体系构建专题归纳突破突破知识体系构建专题归纳突破专题一一集合集合间的关系及运算的关系及运算有关集合之间的关系及运算问题有关集合之间的关系及运算问题,常借助常借助Venn图或数轴进行图或数轴进行运算运算.对于含有参数的问题要特别注意以下三点对于含有参数的问题要特别注意以下三点(1)不要忽略集合中元素的互异性不要忽略集合中元素的互异性,即求出参数的值即求出参数的值(或取值或取值范围范围)后应满足集合中元素的互异性后应满足集合中元素的互异性.(2)不要忽略空集的存在不要忽略空集的存在.如如A B或或A B(B),求解时不要忽求解时不要忽略略A=的情况的情
2、况.(3)对于连续数集之间的关系及运算对于连续数集之间的关系及运算,应注意端点值的取舍应注意端点值的取舍.【典型例题【典型例题1】已知集合已知集合A=x|x2-4x+3=0,B=x|x2-ax+a-1=0,aR,C=x|x2-2x+m=0,mR.若若AB=A,AC=C,求求a,m的值或取值范围的值或取值范围.解解:由题意知由题意知A=1,3,B=x|(x-1)x-(a-1)=0.AB=A,BA,a-1=3或或a-1=1,a=4或或a=2.又又AC=C,CA.若若C=,则则=4-4m1.若若C,则当则当1C时时,有有12-2+m=0,m=1,此时此时C=1,AC=C;当当3C时时,有有9-6+m
3、=0,m=-3,此时方程为此时方程为x2-2x-3=0,解得解得x=3或或x=-1,C=-1,3.AC=3,不符合已知条件不符合已知条件.综上所述综上所述,所所求求a的值为的值为a=4或或a=2,m的取值范围是的取值范围是m1.规律总结规律总结1.与含参数的子集与含参数的子集(真子集真子集)有关的运算有关的运算,其关键是将其转化为其关键是将其转化为集合间的关系集合间的关系.2.求出参数后注意检验是否满足元素的互异性和已知条件求出参数后注意检验是否满足元素的互异性和已知条件.【跟踪训练【跟踪训练1】已知全集已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,集合集合A=xN|1x4,B=xR|x2-3x+2
4、=0.(1)用列举法表示集合用列举法表示集合A与与B;(2)求求AB及及 U(AB).解解:(1)由题知由题知,A=2,3,4,B=xR|(x-1)(x-2)=0=1,2.(2)由题知由题知,AB=2,AB=1,2,3,4,所以所以 U(AB)=0,5,6.专题二二充分条件充分条件和必要条件和必要条件1.充分条件、必要条件的判断方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法定义法:直接判断命题直接判断命题“若若p,则则q”“若若q,则则p”的真假的真假.(2)利用集合间的包含关系判断利用集合间的包含关系判断:若若AB,则则“xA”是是“xB”的充分条件或的充分条件或“xB”是是“xA”的必要条件
5、的必要条件;若若A=B,则则“xA”是是“xB”的充要条件的充要条件.2.充分条件、必要条件的探究充分条件、必要条件的探究(1)探究探究p的充分条件的充分条件,设该条件为设该条件为q,需要判断由条件需要判断由条件q能否推能否推出结论出结论p.(2)探究探究p的必要条件的必要条件,设该条件为设该条件为q,需要判断由结论需要判断由结论p能否推能否推出条件出条件q.探求充分条件和必要条件时探求充分条件和必要条件时,要注意要注意,对一个命题而言对一个命题而言,使结使结论成立的充分条件、必要条件、充要条件可能不止一个论成立的充分条件、必要条件、充要条件可能不止一个.【典型例题【典型例题2】(1)已知集合
6、已知集合A=x|-4x4,B=x|x5”的的()A.充分不必要充分不必要条件条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)已知已知是是“x-k0”的充分不必要条件的充分不必要条件,则实数则实数k的取值范围是的取值范围是()A.k-1B.k-1C.-1k2,且且x3”成立的一个充分不必要条件是成立的一个充分不必要条件是()A.x2B.x2,且且x3C.x1D.x5答案答案:(1)C(2)D解析解析:(1)命题命题p:x2,且且x3”成立的充分不必要条件应是集合成立的充分不必要条件应是集合x|x2,且且x3的真子集的真子集.故选故选D.专
7、题三三全称量全称量词命命题和存在量和存在量词命命题1.要判断一个全称量词命题为真命题要判断一个全称量词命题为真命题,必须对限定集合必须对限定集合M中中的每一个的每一个x验证验证p(x)成立成立,一般要运用推理的方法加以证明一般要运用推理的方法加以证明;要要判断一个全称量词命题为假命题判断一个全称量词命题为假命题,只需举出一个反例即可只需举出一个反例即可.2.要判断一个存在量词命题为真命题要判断一个存在量词命题为真命题,只要在限定集合只要在限定集合M中中能找到一个能找到一个x,使使p(x)成立即可成立即可,否则这一存在量词命题为假命否则这一存在量词命题为假命题题.3.全称量词命题的否定是存在量词
8、命题全称量词命题的否定是存在量词命题;存在量词命题的否存在量词命题的否定是全称量词命题定是全称量词命题.【典型例题【典型例题3】(1)已知下列说法已知下列说法:“xN,x31”是假命是假命题题;“xQ,x2=3”是真命题是真命题;“xN,x31”的否定是的否定是“xN,x30,有有y0”,则则()A.该命题的否定是该命题的否定是“x0,使得使得y0,使得使得y0”,且否定为真命题且否定为真命题C.该命题的否定是该命题的否定是“x0,使得使得y0”,且否定为假命题且否定为假命题D.该命题的否定是该命题的否定是“x0,有有y0”,且否定为真命题且否定为真命题答案答案:B规律总结规律总结含有一个量词
9、的命题的否定含有一个量词的命题的否定,是在否定结论的同时是在否定结论的同时,改变量词改变量词的属性的属性,即将全称量词改为存在量词即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词存在量词改为全称量词.【跟踪训练【跟踪训练3】命题命题p:xR,x20,则则()A.p是假命题是假命题;p:xR,x20B.p是假命题是假命题;p:xR,x20C.p是真命题是真命题;p:xR,x20不成立不成立,故故“xR,x20”为假命题为假命题,根据全称根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知量词命题的否定是存在量词命题可知,“xR,x20”的否定的否定是是“xR,x20”.故选故选B.专题四四思想方法思想方法专题
10、思想方法一思想方法一:分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同分各种不同的情况予以分类解决的情况予以分类解决.树立分类讨论思想树立分类讨论思想,应注意理解和掌握应注意理解和掌握分类的原则、方法及技巧分类的原则、方法及技巧,做到做到“确定对象的全体确定对象的全体,明确分类的明确分类的标准标准,分门别类分门别类,不重复、不遗漏不重复、不遗漏”.【典型例题【典型例题4】(1)已知集合已知集合A=x|ax5,aR,B=x|x2,且且满足满足AB,求实数求实数a的取值范围的取值范围.(2)已知集合已知集合P=xR|x
11、2-3x+m=0,mR,集合集合Q=-4,-1,1.集集合合P是否能成为是否能成为Q的一个子集的一个子集?若能若能,求出求出m的取值范围的取值范围;若不若不能能,请说明理由请说明理由.解解:(1)当当a5时时,A=,此时此时AB;当当a5时时,要使要使AB,如图如图.由此可得由此可得a2,即即2a5.综上可得综上可得,实数实数a的取值范围是的取值范围是a2.(2)当当P=时时,P是是Q的一个子集的一个子集,此时关于此时关于x的方程的方程x2-3x+m=0无实数根无实数根,即即=9-4m3a-5,解得解得am”为真命题为真命题,则则m的取值范围是的取值范围是;(2)已知集合已知集合A=x|x1,
12、B=x|xa,aR,若若“AB=B”是是“ak”的充分不必要条件的充分不必要条件,则实数则实数k的取值范围是的取值范围是.答案答案:(1)m1解析解析:(1)因为命题因为命题“0 x1,ym”是真命题是真命题,所以所以ymaxm.又又因为函数因为函数y=-2x+3满足满足y随随x的增大而减小的增大而减小,所以所以ymax=3.所以所所以所求求m的取值范围是的取值范围是m3.(2)因为因为AB=B,所以所以AB,所以所以a1.又因为又因为“AB=B”是是“ak”的充分不必要条件的充分不必要条件,所以所以a|a1 a|a1.规律总结规律总结解决解决典型例题典型例题5(1)的实质就是将已知条件转化为不等式能成的实质就是将已知条件转化为不等式能成立立(或恒成立或恒成立)问题问题,再进一步转化为求函数的最值问题进行求再进一步转化为求函数的最值问题进行求解解.解决典型例题解决典型例题5(2)的实质就是将集合间的运算及充分不必要的实质就是将集合间的运算及充分不必要条件转化为集合间的关系条件转化为集合间的关系,再进行求解再进行求解.【跟踪训练【跟踪训练5】已知集合已知集合P=x|m-4xm+4,mR,S=x|1x3.(1)若若xP是是xS的必要条件的必要条件,求求m的取值范围的取值范围.(2)是否存在实数是否存在实数m,使使xP是是xS的充要条件的充要条件?
