《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题课件新人教版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题课件新人教版选择性必修第一册（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题第第2课时课时用空间向量研究夹角问题用空间向量研究夹角问题课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目标素素养养1.能用向量方法解决简单的夹角问题能用向量方法解决简单的夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的应用体会向量方法在研究几何问题中的应用.3.通过本节课学习通过本节课学习,提升学生的数学运算、逻辑推理和直观想提升学生的数学运算、逻辑推理和直观想象的核心素养象的核心素养.知知识概概览课前基础认知1.异面直线所成的角异面直线所成的角若异面直线若异面直线l1,l2所成的角为所成的
2、角为,其方向向量分别是其方向向量分别是u,v,2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角直线与平面相交直线与平面相交,设直线与平面所成的角为设直线与平面所成的角为,直线的方向向直线的方向向量为量为u,平面的法向量为平面的法向量为n,则则3.平面与平面的夹角平面与平面的夹角(1)平面与平面的夹角的定义平面与平面的夹角的定义平面平面与平面与平面相交相交,形成四个二面角形成四个二面角,我们把这四个二面角我们把这四个二面角中中不大于不大于90的二面角称为平面的二面角称为平面与平面与平面的夹角的夹角.(2)平面与平面的夹角的求法平面与平面的夹角的求法若平面若平面,的法向量分别是的法向量分别是n1和和n2,
3、则平面则平面与平面与平面的夹角即的夹角即为向量为向量n1和和n2的夹角或其补角的夹角或其补角.设平面设平面与平面与平面的夹角为的夹角为,则则cos=|cos|=微微判断判断 判断判断.(正确的打正确的打“”,错误的打错误的打“”)(1)两条异面直线所成的角就是两直线的方向向量所成的角两条异面直线所成的角就是两直线的方向向量所成的角.()(2)直线与平面所成的角等于直线方向向量与该平面法向量直线与平面所成的角等于直线方向向量与该平面法向量所成角的余角所成角的余角.()(3)两个平面夹角的大小就是两个平面法向量的夹角的大小两个平面夹角的大小就是两个平面法向量的夹角的大小.()4.用空间向量解决立体
4、几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题它们之间的距离和夹角等问题;(3)把向量运算的结果把向量运算的结果“翻译翻译”成相应的几何结论成相应的几何结论.课堂重难突破一一求求异面直异面直线所成的角所成的角典例剖析典例剖析1.如图如图,在直三棱柱在直三棱柱
5、ABC-A1B1C1中中,ABAC,AB=AC=2,A1A=4,点点D是是BC的中点的中点.求异面直线求异面直线A1B与与C1D所成角的余弦所成角的余弦值值.解解:如图如图,以以A为原点为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则B(2,0,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),规律总结规律总结利用利用方向向量求异面直线所成角的基本步骤方向向量求异面直线所成角的基本步骤:(1)根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系;(2)在坐标系中在坐标系中,写出相关各点
6、的坐标写出相关各点的坐标,进而表示出相关向量的进而表示出相关向量的坐标坐标;(3)代入异面直线所成角的余弦值公式代入异面直线所成角的余弦值公式,根据夹角的余弦值根据夹角的余弦值,确确定角的大小定角的大小.学以致用学以致用1.如图如图,在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,AD=AA1=1,AB=2,点点E是棱是棱AB上的动点上的动点.若异面直线若异面直线AD1与与EC所成的角为所成的角为60,试确试确定动点定动点E的位置的位置.解解:以以D为原点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,如图所示如图所示.则
7、则A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0).二二求求直直线与平面所成的角与平面所成的角典例剖析典例剖析2.如如图图,已知梯形已知梯形ABCD中中,ADBC,DAB=90,AB=BC=2AD=2,四边形四边形EDCF为矩形为矩形,DE=2,平面平面EDCF平面平面ABCD.(1)求直线求直线AE与平面与平面BEF所成角的余弦值所成角的余弦值;(2)若点若点P在线段在线段EF上上,且直线且直线AP与与平面平面BEF所成角的正弦值所成角的正弦值为为,求线段求线段AP的长的长.解解:(1)四边形四边形EDCF为矩形为矩形,DECD.又平面又平面EDCF平面平面ABCD,且平面且平面EDC
8、F平面平面ABCD=CD,DE 平面平面EDCF,ED平面平面ABCD.以以D为原点为原点,DA所在直线为所在直线为x轴轴,DE所在直线为所在直线为z轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标系系(如图如图),则则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,2),F(-1,2,2).设平面设平面BEF的法向量的法向量n=(x1,y1,z1),规律总结规律总结利用利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤法向量求直线与平面的夹角的基本步骤:学以致用学以致用2.如图如图,正方形正方形AMDE的边长为的边长为2,B,C分别为分别为AM,MD的中点的中点,在五棱锥在五棱锥P-ABCDE中中,F为为PE的中点
9、的中点,平面平面ABF与与PD,PC分别分别交于点交于点G,H.(1)求证求证:ABFG;(2)若若PA底面底面ABCDE,且且PA=AE,求直线求直线BC与平面与平面ABF所所成角的大小成角的大小,并求线段并求线段PH的长的长.(1)证明证明:在正方形在正方形AMDE中中,因为因为B为为AM的中点的中点,所以所以ABDE.又又AB 平面平面PDE,DE 平面平面PDE,所以所以AB平面平面PDE.又又AB 平面平面ABF,平面平面ABF平面平面PDE=FG,所以所以ABFG.(2)解解:因为因为PA底面底面ABCDE,所以所以PAAB,PAAE.如图如图,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系
10、,则则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),三三求求平面与平面的平面与平面的夹角角典例剖析典例剖析3.在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,AB=4,AD=3,AA1=2,E为为AB的中点的中点,求平面求平面DEC1与平面与平面ABCD的夹角的余弦值的夹角的余弦值.解解:如图如图,以以D为原点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则D(0,0,0),E(3,2,0),C1(0,4,2),令令x=2,则则y=-3,z=6.所以所以n=(2,-3,6)为
11、平面为平面DEC1的一个法向量的一个法向量.易知平面易知平面ABCD的一个法向量为的一个法向量为m=(0,0,1),设平面设平面DEC1与平面与平面ABCD的夹角为的夹角为,互动互动探究探究1.(变问法变问法)若本例条件不变若本例条件不变,求二面角求二面角D1-DE-C1的余弦值的余弦值.2.(变条件变条件,变问法变问法)本例中本例中,将将“E为为AB的中点的中点”改为改为“在线段在线段AB上是否存在一点上是否存在一点E,使平面使平面DEC1与平面与平面ABCD的夹角的余的夹角的余弦值弦值为为?若存在若存在,求出求出AE的长的长;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由”.解解:假设存在点假设存
12、在点E,设设AE=a(0a4).如图如图,以以D为原点为原点,DA,DC,DD1所在所在直线直线分别分别为为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立建立空间直角空间直角坐坐标标系系,则则E(3,a,0),C1(0,4,2),D(0,0,0),又又a0,4,故故a=3.所以在线段所以在线段AB上存在点上存在点E,使平面使平面DEC1与与平面平面ABCD的夹角的余弦值的夹角的余弦值为为,此时此时AE的长为的长为3.规律规律总结总结 利用利用向量方法求平面间夹角的大小时向量方法求平面间夹角的大小时,多采用法向多采用法向量法量法,具体求解步骤如下具体求解步骤如下:(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系.(
13、2)分别求出两个平面的法向量分别求出两个平面的法向量n1和和n2.(3)设平面间的夹角为设平面间的夹角为,则则cos=|cos|.(4)利用余弦值利用余弦值,确定平面间的夹角的大小确定平面间的夹角的大小.提醒提醒:若求二面角若求二面角,求出求出cos后后,观察图形观察图形,判断二面角为判断二面角为锐角还是钝角锐角还是钝角,若二面角为锐角若二面角为锐角,则则cos=|cos|,若二面若二面角为钝角角为钝角,则则cos=-|cos|.学以致用学以致用3.如图如图,正三棱柱正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为的所有棱长都为2,D为为CC1的中的中点点,求平面求平面AA1D与平面与平面BA1D的
14、夹角的余弦值的夹角的余弦值.解解:如图如图,取取BC的中点的中点O,连接连接AO.因为因为ABC为正三角形为正三角形,所以所以AOBC.在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,因为平面因为平面ABC平面平面BCC1B1,所以所以AO平面平面BCC1B1.取取B1C1的中点的中点O1,以以O为原点为原点,OB,OO1,OA所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,随堂训练1.已知向量已知向量m,n分别是直线分别是直线l和平面和平面的方向向量和法向量的方向向量和法向量,若若cos=-,则直线则直线l与平面与平面所成的角为所成的角为()A.3
15、0B.60C.120D.150答案答案:A2.已知两个平面的法向量分别为已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个则这两个平面的夹角为平面的夹角为()A.45B.60C.135D.90答案答案:A3.在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,若若AB=BB1,则则AB1与与C1B所成所成的角为的角为()A.60B.90C.105D.75答案答案:B4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,BB1与平面与平面ACD1所成角的余弦所成角的余弦值为值为()答案答案:D解析解析:不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,如图所如图所示示,5.已知在正方形已知在正方形ABCD所在平面外有一点所在平面外有一点P,且且PA平面平面ABCD.若若PA=AB,则平面则平面PAB与平面与平面PCD所成的夹角的大小所成的夹角的大小为为.答案答案:45解析解析:如图如图,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,设设AB=1,则则A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0).
