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1、个性化辅导讲义学校： 学员姓名：年 级：课时数：2辅导科目：数学学科教师：授课课题抛物线的简单几何性质授课时间及时段2019年月日 星期六时段：16:00 18：00教学目标1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用.（重点）2掌握直线与抛物线的位置关系（难点）教学内容与过程知识清单抛物线的简单几何性质1. 抛物线的几何性质标准方程y2=2px(P0)y2 = 2px(p0)x2=2py(p0)x2 = 2py(p0)图形4軌of性质范围x0,yRxWO,yRxR,y0xR,応0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e=12直线与抛物线的位置关系及判定位置关系公共占厶/、后、判定方法相交两个或一
2、个公共占八、k=0 或 |/0联立直线与抛物线方 程，得到个元二 次方程，记判别式为相切有且只有一个公共占/、八、A = 0相离无公共点K0铀该挺理要点舸探阶股认知旗习质謎基础初探微体验判断(正确的打“V”，错误的打“ X”)(1) 抛物线是中心对称图形.()(2) 抛物线没有渐近线.()(3) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()(4) 直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.() 【答案】X (2) VXX阶段2合作探究通关(分组讨论 疑难细究)小组合作型抛物线的几何性质(1)抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为【自主
3、解答】因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍，所以2p = 16.故所求抛物线方程为x2=16y.【答案】x2=16y(2)已知抛物线的方程为y=ax2(aH0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程.【自主解答】抛物线方程y=ax2(aH0)可化为x2=1y(a0).当ao时，抛物线开口向上，焦点坐标为(o, 4a，准线方程为y=当avo时，抛物线开口向下，焦点坐标为(o, 4a，准线方程为y=4.综上所述，抛物线y=ax2(aH0)的焦点坐标为(0,舟，准线方程为y=右.名师屈蓟rf把握三个要点确定抛物线简单几何性质1开口 ：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y, 次项
4、的系数是正还是负.2关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒 等于1.再练一题1. 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶 点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.【解】椭圆的方程可化为手+y9=1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴， 设抛物线的方程为y2=2px或y2 = 2px(p 0).抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即2=3, p=6.抛物线的标准方程为y2=12x或y2= 12x.其准线方程分别为x=3和x=3.直线与抛物线的位置关系
5、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k(kGR).当k为何值时,直线l与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？【精彩点拨】要解决这个问题，只需讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.【自主解答】 由题意可设直线l的方程为y1=k(x+2)，把直线l的方程和抛物线的方程联立得方程组y一 1 =k(x+2),y2=4x，(*)消去 x 得 ky24y+4(2k+1) = 0，当k=0时，由方程得y=1.把y=1代入y2=4x中，得x=f这时，直线l与抛物线只有一个公共点4,1)当kHO时，方程的判别式
6、为A= 16(2k2+k 1). 由 A = 0,即 2k2+k1=0,解得k= 1或k=2于是，当k= 1或k=2时，方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，直线l与 抛物线只有一个公共点. 当 /0，即 2k2+k10，解得一lvkvg于是，当一1 vkvg且kH0时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解.这时，直线l与抛 物线有两个公共点. 由 J0，解得 k1.于是，当k2时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解，这时，直线l与抛物 线没有公共点.综上，我们可得：当k= 1或k=2或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当一1 vkv*且k工0时，直线l与抛物线有两个公
7、共点；当k0乍相交；A = 0相切；/V03相离.c(2) 当a=0时，方程只有一解x=b，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.2. 直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个 公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对 称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的.再练一题2. 设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()B. 2,2 1 1 A. 2, 2C. 1,1D.4,4【解析】抛物线y2=8x的准线(直线x=2)与x轴的交点为
8、Q( 2,0)，于是，可设过点Q( 2,0)的直线l的方程为y=k(x+2)，则有y2=8x,消去 y,得 k2x2+(4k28)x+4k2 = 0, y=k(x+2),由其判别式 2=(4k28)216k4=64k2+640,可解得一1WkW1.故选 C.【答案】C探究共研型抛物线的焦点弦探究 直线过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线交于A(x1，yj、B(x2, y2)两点，能否 用A, B点的坐标表示弦长IABI?【提示】 由抛物线的定义知，IAFI=x1，IBFI=x2，故 IABI=x1+x2+p.例已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为n勺直线，被抛物线
9、 所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.【精彩点拨】本题考查抛物线的焦点弦的性质及抛物线的标准方程问题，可根据已知条件利用待定系数法求解.【自主解答】当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程是y2=2px(p0).则焦点，0),直线l的方程为y=x设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2),过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂 足分别为B1.则 IABI = IAFI + IBFI = IAA1I + IBB1I2.*.x1+x2 = 6p.=X + x?+ p = 6,py=x2,消去y,得ly2=2px,_px2.I2 = 2px，即 x23px+牛=0.、3x1
10、+x2=3p.代入式，得3p = 6p,:p=2所求抛物线的标准方程是y2=3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2=3x.名师屈蠹雷1解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.2. 设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.再练一题3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1, y1), B(x2, y2),若IABI = 7,则AB的中 点M到抛物线准线的距离为.【解析】抛物线的焦点为F(1,O),准线方程为x= 1.由抛物线的定义知IABI =
11、IAFI + IBFI=xi +P + X2=x1+x2+p,阶段3:体验落实评价(课堂回馈即时达标)即 X+x2+2 = 7, 得 X+x2 = 5,5,57于是弦AB的中点M的横坐标为2，因此点M到抛物线准线的距离为2+1=2. 【答案】71.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()B.6,+)A.(6,+x)C.(3,+)D.3,+)【解析】抛物线的焦点到顶点的距离为3,*2=3,即 p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p,抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3,+兀).必夭(11卯语答案】D2. 已知直线y=kxk及抛物线y2 = 2px(p0
12、),贝)A. 直线与抛物线有一个公共点B. 直线与抛物线有两个公共点C. 直线与抛物线有一个或两个公共点D. 直线与抛物线可能没有公共点【解析】：.直线y=kxk=k(x 1),直线过点(1,0).又/点(1,0)在抛物线y2 = 2px的内部，当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当kH0时，直线与抛物线有两个公共点.【答案】C3. 过抛物线y求实数b的值； 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.=8x的焦点作倾斜角为45。的直线，则被抛物线截得的弦长为.【解析】由抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y=x2,代入y2 = 8x，得(x2)2 = 8x，即 x212
13、x+4 = 0, .*.x1+x2=12，弦长=X+x2+p= 12+4 = 16.【答案】164. 已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若IABI=4,则AB的中点的纵坐标是.【解析】设 Ag, y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2=y，可得p=4，T IABI=y1+y2+p=4，y +y 15故AB的中点的纵坐标是七 2=.【答案】1855.如图2-3-3,直线l： y=x+b与抛物线C： x2=4y相切于点A.|y=x+b,【解】由| 2 / x2=4y,得 x24x4b = 0, (*)因为直线l与抛物线C相切，所以 A=(4)24X(4b) = 0.解得b= 1.由可知b= 1, 故方程(*)为 x24x+4 = 0.解得x=2，代入x2=4y，得y = 1,故点 A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y= 1的距离.即 r=l1 (1)1 = 2. 所以圆 A 的方程为(x2)2+ (yl)2 = 4.随堂练习一、选择题1过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A, B两点
