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1、“2.5.2 向量在物理中的应用举例”教学设计山西省永济中学校科研处 李 军一、内容和内容解析本节是“普通高中课程标准实验教科书数学 4（必修）”（人教A版）， “第二章，2.5平面向量应用举例”第二部分（第二课时）“2.5.2向量在物理中的应用举例”的内容。它是在学生学习过平面向量的概念和基本运算之后设计的一节数学在物理学中的应用举例。教科书中，向量的概念和基本运算的建构均源于丰富的物理背景，在丰富的物理背景下抽取建构数学模型，反过来再去服务于物理应用，是数学文化的特质和精神。作为一个课时的内容，教科书分别以力的合成和速度的合成为背景给出了两个例题，以此来让学生感悟和体会，如何把物理问题转化
2、成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，以及如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象。在物理中，物体处于平衡状态时所受合力为零，由此可获得一个基本的向量方程；在数学中，根据定义了运算的向量及其所满足的运算律，通过代数运算获取向量的模及夹角的关系，将问题转化为一般代数方程问题，依据方程的思想，通过知几求一的基本数学方法获取问题解决方案。这是本节的基本思想方法。二、目标和目标解析1、体会如何将物理量之间的关系抽象成数学模型；数学与其它学科的区别是，她是去背景的纯计算或推理的模型。要用数学去解决问题，第一步就是在丰富的现实中去背景，抽取数学模型。2、掌握如何应用向量工具，用代数解法求解各
3、几何量之间的大小； 在本章章头图中有这样一段话，“如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。”本节作为本章的最后一节，通过两个物理应用举例，对章头的这段话给出了完美的诠释。是让学生生长的一个重要技能。3、感悟用数学模型的解来解释相应的物理现象。 这是用数学解决实际问题之三步曲的最后一步，是培养学生数学习惯的重要过程。三、教学问题诊断分析学生在物理课中，实际上已经接触过类似的问题，不过很少有从数学代数运算的角度去审视问题的解决过程，本节一方面要让学生体悟数学解决问题的方法；另一方面也是让学生感知数学是一门有用的学科（数学不是枯燥的数字游戏而是和生活息息相关的）。这里要特别
4、强调的是，人教A版对这两个例题的处理，和一般物理老师所采用的方法基本一致，基本属于纯几何解法，没有较好地展示出“定义了运算的向量的力量”，本教学设计将对教材中例题的解法进行改造，一方面，使问题解决更具有模型性，另一方面，可以让学生充分体悟定义了运算之后向量的无限力量。四、教学支持条件分析软件：成功唤醒学生的已有经验，即，已有的物理经验：力的合成、速度的合成、物体在平衡状态下所受合力为零；已有的数学经验：向量及其运算。硬件：多媒体教学一体机，可用幻灯片和实物投影机展示课件和学生作业。本节为了充分展示数学的文化特质，特别是能够较好地提升学生应用数学知识解决物理问题的能力，选用新授课的方式。五、教学
5、过程设计（一）技能建构1、向量在力学中的应用举例（1）技能感悟：（作为体验的过程，本节采用直接切入的方式）例3、在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种观点吗？分析；上面的问题在物理背景下，是一个力的平衡问题，根据物理知识可以画出物体受力图，如图（略）。（说明：这一步有两层意义，1）从物体受力图中抽取数学几何模型，2）根据几何模型，找出各量之间的关系，包括，两个分力F1 、F2以及它们之间的夹角与重力G。）解：不妨设F1F2，由力的平衡知识，可以知道：-GF1+F2；所以 G-G=F1+F2=
6、F1+F22=F12+2F1 F2+F22=F12+2F1F2cos+F22=2F12+2F12cos=2F121+cos=F1 21+cos所以 F1 =G21+cos ;由三角函数的知识知，当由001800 逐渐变大时，21+cos值由大变小，因此F1 由小逐渐变大，即F1 与F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。（2）技能体验：练习：如图（略），平面上三个力F1、F2、F3作用于一点且处于平衡状态，F1=1N，F26+22N，F1与F2的夹角为450，求：（1）F3的大小；（2）F3与F1夹角的大小。参考答案：（做成幻灯片，在学生展示完成后，作为解题规范要求给出。）解：由力的平衡知识
7、，可以知道：F1+F2+F30，所以 F3=-(F1+F2)，所以 F3=F1+F2=F1+F22=F1+F22 =F12+2F1F2+F22 =F12+2F1F2cos+F22 =4+23=1+3.设F3与F1的夹角为，由F1+F2+F30，可得： F1+F3-F2，（说明；这个方程构建的意义要让学生掌握，从目标来说，我们要求的是F3与F1的夹角，而要采用的手段是作两个向量的数量积，所以把F3和F1放在方程的一边，把其它的量放到另一边。）所以 F1+F32=-F22=F22，所以 F12+2F1F3+F32=F12+2F1F3 cos+F32=F22（说明：这是通过向量运算所获得的代数方程。
8、） 所以cos=F22-F12-F322F1F3=-32由于 001800，所以=1500.2、向量在运动学中的应用举例（1）技能感悟：例4、一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从河一岸的某处出发到河对岸，已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）?分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用的时间最短。考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸，即v与v2互相垂直。解：由速度的合成知识，可以知道：v=v1+v2，所以 v1=v-v2，（说
9、明：根据目标和方法重新构建向量方程，由于v与v2互相垂直，所以在构建方程时，把v和v2放到一边。）所以 v1=v-v2， 所以 v12=v-v22=v2-2vv2+v22，因为 vv2，所以vv2=0， 所以 v12=v2+v22=v2+v22，所以 v2=v12-v22=96，v=96(km/h)； 所以 t=dv=0.596603.1(min).答：行驶航程最短时，所用的时间约为3.1min.（2）技能体验：练习：教材第113页，习题2.5 B组2.（参考答案略）（二）反思与小结1、请学生阅读课本第111页和第112页的例3和例4，并与本节所给的解题方案进行比较，找出两种解题方案的异同点。
10、2、小组交流本节所给例题的解题方案与课本例题解答的异同点，由组长作好交流记录；（目的是让学生能发现，课本所采用的几何解法和本节根据定义了运算的向量所给出的代数解法之间的差异，体会定义了运算的向量在物理中的应用方法。）3、由值日小组展示小组成果，其它小组进行质疑。说明：这一环节是学生对本节知识与技能内化和顺应的结点，约需10到15分钟时间。本环节，先给学生5分钟时间进行阅读和独立反思，然后再指导学生进行小组交流，最后通过组间交流完成本节小结。本节小结：1）根据物理学的知识画出几何图形；（提高问题的直观性）2）根据物理学的知识和所画几何图形确定向量方程；3）根据解题目标改写向量方程；4）进行向量运
11、算构建代数方程；5）解方程求解问题；6）用方程的解解释物理现象。（三）知识巩固（课后作业）1、必作题：（1）写出本节的学习报告（对本节知识与技能的感悟）；（2）教材第119页，复习参考题，A组 14题；（3）教材第120页，复习参考题，B组 7题；2、选作题：（4）教材第113页，习题2.5，A组 3题；（5）教材第113页，习题2.5，B组 1题。说明：本节内容属于高一年级的课程，虽然学生还没有分文理科，但对物理的学习要求还是有差异的，作业所给的必作题用于复习和巩固本节知识技能，而选作题相对来说涉及的物理概念要多些，需要学生根据物理学科的相关知识，参照本节所学知识技能去解决。根据学生的能力水
12、平和兴趣志向，作为分层作业要求。六、目标检测设计1、若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V”形挂重物，每根绳子的最大拉力为100N，两根绳子的夹角为600，则能挂重物的最大重量是多少N？2、一只鹰沿水平方向向下350角方向飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度是40m/s，则鹰的速度是多少？3、一物体在三个力F1、F2、F3的作用下水平前进了10m，已知F1的大小为20N，与物体前进的方向成300角；F2的大小为10N，与物体前进的方向成450角；F3的大小为30N，与物体前进的方向成600角。求物体做功的大小。提示：在物理学中三个力的合成很难作出来，若把功的问题转变为数学上的平
13、面向量的数量积运算，根据数量积运算的运算律可以轻松解决本题。4（选作题）、2008年北京奥运会上，男子百米纪录为9秒69，一个特技演员不用任何器械要从一幢25层楼的楼顶跳到街道对面的20层楼的楼顶，已知街道宽20米，每层楼高3米，不计空气阻力，问这个特技演员能做到吗？说明：1题和2题是基本题，目的是检测学生对本节基本技能掌握的情况，基本属于一步推理问题；3题相对于1、2题综合性有了提高，基本属于两步推理问题；另一方面，从应用的角度上讲，本题将本节内容扩展到了应用向量运算解决物理中做功问题，目的是拓展学生的数学视野，提高学生的学习和创新能力，本题作为基本要求，考虑到全体，后面给出了必要的提示；4题也可以说是一个兴趣题，其中涉及到了自由落体运动问题，所以希望向理工方向发展的同学能够完成。
