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1、第十章 曲线积分与曲面积分第一节 第一类曲线积分1.设平面内有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为,用对弧长的曲线积分表示：（1)这曲线弧的长度;(2）这曲线弧的质量;(3)这曲线弧的重心坐标：；（4）这曲线弧对轴,轴及原点的转动惯量;.解 (）;(2）; （3）, ， （4）, , （)设为椭圆,其周长为，求. (2)设为圆周，求. 解 (1)：,即,从而 =. （2)：,从而=.1.计算,其中是以,为顶点的三角形. 解 如图0.1所示，2：，从,图 10.1 ：,从, ：,从, .从而=+ = .4.计算,其中为曲线. 解1 的参数方程为 : .计算出，于是 = =8 解在极坐标系下，
2、: .计算出,于是=8.5.求空间曲线,的弧长. 解 = =,从而 .有一铁丝成半圆形,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量. 解 =. =.7.计算,其中为球面与平面的交线. 解 由于与对,，都具有轮换对称性，故 =,=于是=.其中为圆周的周长，显然平面过球面的球心，所以为该球面上的大圆,即半径为,故周长为.又因为=0,所以=. 第二节 第二类曲线积分1.计算,其中为圆周（按逆时针方向绕行).解 :,由0到，从而 = =.2.计算，其中是抛物线上从点到点的一段弧. 解 =.计算，其中为摆线图 10.2，上对应从0到的一段弧(图0.2）. 解 = = =.4.计算,其中为上半椭圆,
3、从点到点的一段弧解 由可得,，代入积分式，得 = =.5.计算，其中是从点到点的直线段. 解 的点向式方程为:,从而得参数方程为,由0到1 = 32.6.计算,其中为有向闭折线,这里的,依次为点,. 解 如图103,:,，由0到. =;：,，由0到1；图 10.3 ；:，,由0到1; =1，故 =.7.有一质量为的质点，除受重力的作用外，还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力的作用,设该质点沿螺旋线，从点移动到点移动到点,求重力与力的合力所作的功. 解 依据题意,力=,故质点所受的合力 在螺旋线上，起点对应于，终点对应于,即.因此,力所作的功 = =.第三节 格林公式1.设平面
4、上闭曲线所围成的闭区域为,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来. （1） (a) （2)2 （b)(） (c)2利用曲线积分计算星形线,所围成图形的面积.图 10.4解 如图10.4,因为 由到.从而 = = = =.证明只与的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分.解 ,所以积分与路径无关, 故 = =或者 = =.4.计算,其中为从到的正弦曲线. 解 如图10所示,由格林公式 图 10.5 = = = =其中 = = = .移项解之，得 .注意 本题易犯两个错误：(1)=.产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：,其中是的取正向的边界曲线而本题的闭曲线是的取负向的边界曲
5、线，所以二重积分前面必须添加负号.(2)计算定积分是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法时,每次选取函数,不注意必须是同类函数(如选三角函数作为就一直选三角函数,如选作为就一直选)，结果就出现了恒等式,即前进一步又倒退一步,致使积不出来5. 已知连续,且，,计算其中是以线段为直径的上半圆周. 解 如图1.所示图 10.6 = = = = = =. 本题需注意两点：（）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向，本题因是负向，故二重积分前必须添上负号;(2）因是抽象函数,不可能直接将积出来,请不要先急于积分,先用分布积分法将表示为，则两项
6、抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中发现解题技巧6证明在右半平面内为某一函数的全微分,并求出一个这样的函数解,由于,所以为某一函数的全微分.取定点，对于右半平面上任一点，令 = = =7.已知曲线积分,其中为圆周 ,取逆时针方向,求的值，使得对应曲线积分的值最大 解 显然，在区域内有一阶连续的偏导数，由格林公式 = = = =.,令，解得(依题意设，故将和舍去),因为是在内唯一的驻点,且=，故在处取得最大值，因此,即当积分路径为时，对应曲线积分的值最大.求,其中 （1）为圆周的正向;（2）为椭圆的正向.解 令,则当时,有，记所围成的闭区域为, （1）
7、:，即,此时,(如图0.7（a)所示）.图 10.7(b)图 10.7(a) 由于，由格林公式, .(2):,即,此时，以为圆心,以充分小的为半径作圆周,由0到,取逆时针方向(如图10.7(b)所示).记和所围成的闭区域为,对复连通区域应用格林公式,得 ,从而= =.注意 (2)中由于点位于所围成的闭区域内,需用复连通域上的格林公式，以避开点,考虑到被积函数的分母为,故取圆周,有同学不考虑“洞”,即点，直接用格林公式,得到是错误的.9.求,其中、为正常数,为从点沿曲线到点的弧.解 添加从点沿到点的有向直线段,则 = = =第四节 第一类曲面积分1.设有一分布着质量的曲面,在点处它的面密度为用曲
8、面积分表示: （1）这曲面的面积； （）这曲面的质量; （3)这曲面的重心坐标为=,，; ()这曲面对于轴,轴,轴及原点的转动惯量=,=，=，= 解 (1)=. （)=. (3)=,=,. ()=, =, =, =2342计算,其中为平面在第一卦限中的部分 解如图08所示,:,， =,在积分曲面上,被积函数=,图 10.8 ,从而 = =.计算,其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面 解 如图19所示，图 10.9:，,，:,= = =.计算=,其中为锥面被柱面所截成的部分. 解 因为积分曲面关于坐标面(即平面)对称,是关于的奇函数,所以 =此外,在上,且在面上的投影为,因此 = =5.计
9、算,其中为抛物面在面上方的部分 解 如图1.0所示,，,图 10.10 =, ， = = =.6计算，其中为球面上的部分 解 在面上的投影为圆域:, =,故 =由积分区域的对称性可得：0，=0,又积分区域的面积为,故 =7.求柱面在球面内部的部分的表面积.解 由对称性,所求面积为其位于第一卦限部分面积的4倍,即,其中曲面为,求得面积元素 =,由,消去,得,由此得在坐标面上的投影为: ，,因此,曲面的面积 = = =.设为椭球面的上半部分，点,为在点处的切平面，为点到平面的距离,求解 设为上任意一点,则的方程为,从而知,由 ,有=,=,从而 = = =.第五节 第二类曲面积分.当是面内的一个闭区
10、域时，与二重积分的关系为 (1),（2)=. 解 (1）, (2）.注意 因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以()中应填;而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以(2）中应填,有个别同学常疏忽这一点,只填,这是不对的.2.计算,其中为半球面的上侧. 解 记:,取前侧,：取后侧,与在面的投影区域相同,记为. = 0.同理 0，而 =.从而= = 0+0+=. 注意 常见的错误是: =+=或 =. 产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选择二重积分前的正、负号 =, , 将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号，这与所给曲面的侧有关切记：上侧取正,下侧取负;前侧取正,后侧取负;右侧取正,左侧取负；3.计算,其中是平面,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 如图10.1所示,其中各自对应于四面体的一个表面,可表示为1 :下侧； : 左侧；1
