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1、卡尔曼滤波简介及其算法实现代码卡尔曼滤波算法实现代码（C, C+ +分别实现）卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所 能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器,如果时间和能力允许,我还希望能够写写其他的算 法,例如遗传算法,傅立叶变换,数字滤波,神经网络,图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式,所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家,欢迎 讨论更正。卡尔曼滤波器-Kalman Filter1什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter?）在学习卡尔曼滤波器之前,首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著
2、名的理论（例如傅立叶变换, 泰勒级数等等）一样,卡尔曼也是一个人的名字,而跟他们不同的是,他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953,1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学 位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems （线性滤波与预测问题的新方法） 。 如果对这编论文有兴趣,可以到这里的地址下载：http:/www.c
3、s.unc.edu/welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自 回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题,他是最优,效率最高甚至是最有用的。他的 广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检 测等等。2卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波
4、器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参 考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计 算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就 是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度(假设我们用一分钟来做时间单位)。假设你对你的 经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声(White Gaussian Noise)，也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且
5、符合高斯分配(Gaussian Distribution)。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比 实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值(系统的预测 值)和温度计的值(测量值)。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际 温度值。假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。 因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23 度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度(5是这样得到的：如果k-1时刻
6、估算出的最优温度值的 偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5)。然后，你从温度 计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少 呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。 因为Kg2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78* (25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小(比较相信温度计)，所以估 算出的最优温度值偏向温度计的值
7、。现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到 现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k 时刻那个最优值(24.56度)的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35o这里的5就是上面 的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差,得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的 最优温度值的偏差(对应于上面的3)o就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很 快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg,就是卡尔曼增益(Kalman Ga
8、in)。他 可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。3卡尔曼滤波器算法(The Kalman Filter Algorithm)在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的 概念知识，包括概率(Probability),随即变量(Random Variable)，高斯或正态分配(Gaussian Distribution )还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一 描述。首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Lin
9、ear St ochas tic Difference equa tion) 来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，x(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对 于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统， H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q, R (这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。对于满足上面的条件(
10、线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的 信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出(类似上一 节那个温度的例子)。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统 的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：x(k|k-1)=A x(k-1|k-1)+B U(k) . (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现 在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-
11、1)的covariance还没更新。我 们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是 X(k|k-1)对应的 covariance， P(kT|k-1)是 X(kT|k-1)对应的 covariance，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1, 2就是卡尔曼滤波器 5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值， 我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(
12、k)-H X(k|k-1) (3) 其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain):Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k-1) H + R) (4) 到现在为止，我们已经得到了 k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断 的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance： P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) (5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，1=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的 P(kT|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2
13、，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公 式，可以很容易的实现计算机的程序。下面，我会用程序举一个实际运行的例子。4简单例子(A Simple Example)这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子 是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非 常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量， 所以U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) . (6)式子(2)可以改成：P(k|k-1)=P(
14、k-1|k-1) +Q (7)因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3, 4, 5可以改成以下：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1) (8)Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) (9)P(k|k)=(1-Kg(k)P(k|k-1) (10)现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这 些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声(在图中为蓝线)。为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。 他们的值不
15、用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对 于P, 般不要取0,因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使 算法不能收敛。我选了 X(0|0)=1度，P(0|0)=10。该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果(该 结果在算法中设置了 Q=le-6, R=le-1)。最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家K oMorOp的研 究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数 据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点， 60 年代 Kalman 把状态空间模型引入滤波理论， 并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计 的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利 用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合 于实时处理和计算机运算。现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：X(k) = F(k,k-1 ) X(k-1)+T(k,k- 1)U (k1)Y(k) = H(k) X(k)+N(k)其中X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量和观测矢量F(k,k-1)为状态转移矩阵U(k)为k时刻动态噪声
