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1、概率论与数理统计：总习题一：习题5.习题15习题21习题212.2习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.PX=3=C2,21C5,3=1/10,PX=4=C3,21C5,3=3/10,PX=5=C4,21C5,3=3/5,所以X的分布律为X345pk1/103/103/5习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X10203040
2、pi0.150.250.450.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P3X60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005,在这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数,n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41/1!
3、+42/2!)0.2381.2.4习题2已知Xf(x)=2x,0x10,其它,求PX0.5;PX=0.5;F(x).解答：PX0.5=-,0.5;f(x)dx=-,0;0dx+0,0.5;2xdx=x20,0.5=0.25,PX=0.5=PX0.5-PX0.5=-,0.5;f(x)dx-,0.5;f(x)dx=0.当X0时，F(x)=0;当0x1时，F(x)=-,x;f(t)dt=-,0;0dt+0,x;2tdt=t20,x=x2;当X1时，F(x)=-,x;f(t)dt=-,0;0dt+0,x;2tdt+1,x;0dt=t20,1=1,故F(x)=0,x0;x2,0x00,x0,试求：(1)
4、A,B的值；(2)P-1X1;(3)概率密度函数F(x).解答：(1)because F(+)=limx+(A+Be-2x)=1,A=1;又because limx0+(A+Be-2x)=F(0)=0, B=-1.(2)P-1X00,x0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)=100x2,x1000,其它,某一电子管的使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X,则电子管使用150小时以上的概率为PX150=150,+;f(x)dx=150,+;100x2dx =-100x150,+=100/150=2/3,从而三个电
5、子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则XN(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得PXx=0.1,即 1-PX0时，FY(y)=P1/X0+P01/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=-F(1/y)=1/y2f(1/y);；当y0时，FY(y)=
6、P1/yX0=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1/y2f(1/y);当y=0时，FY(y)=P1/X0=PX0时，FY(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);当y0;0,y0.习题8设随机变量X在任一区间a,b上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在0,1上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间a,b上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在0,1上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=PYy=0,y0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=PZz=
7、PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1由于FX(z)为X的分布函数，故0FX(z)1.FX(z)1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同.总复习题二习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500120元=300000元.设
8、1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X300000即X15(人).因此，P保险公司亏本=PX15=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=0,15;e-5*5k/k!0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P保险公司获利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-kk=0,10;e-5*5k/k!0.986305,即保险公司获利不少于10
9、0000元的概率在98%以上. P保险公司获利不少于200000元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=0,5;e-5*5k/k!0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X-1 0 1pi1/2,1-2q,q2试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)because离散型随机变量的概率函数PX=xi=pi,满足ipi=1,且0pi1,1/2+1-2q+q2=1;01-2q1q21,解得q=1-1/2.从而X的分布律为下表所示：X-1
10、 0 1pi1/22-13/2-2(2)由F(x)=PXx计算X的分布函数F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1x00xa0,其它(0),求常数c及Pa-1Xa+1.解答：由概率密度函数的性质知-+f(x)dx=1,而-+f(x)dx=-,a;0dx+a,+;ce-xdx=ca,+;e-xd(x)=-ce-xvlinea+=ce-a,所以ce-a=1,从而c=ea.于是 Pa-1Xa+1=a-1a+1f(x)dx=a-1a0dx+aa+1eae-xdx=-eae-xvlineaa+1=-ea(e-(a+1)-e-a)=1-e-.注意，a-1a,而当xa时，f(x)=0.习题19设随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3pi1/5 1/6 1/5 1/15 11/30试求Y=X2的分布律.解答：pi1/5 1/6 1/5 1/15 11/30X-2 -1 0 1 3X2 4 1 0 1 9所以X2 0 1 4 9pi1/5 7/30 1/5 11/30注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为
