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1、专题强化动态平衡问题平衡中的临界、极值问题【目标要求1学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题2会分析平衡中的临界与极值问题.题型一动态平衡问题1. 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡 状态.2. 做题流程受力分析*画不同状态平衡图构造矢量三角形“”动性虹根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化V|三角函数关系J 计篡j正弦定理找关系求极值相似三角形3. 三力平衡、合力与分力关系如图，F、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F、F2的合力F3与F3等大反向，F、 F2、F3构成矢量三角形，即为F、F2的合力，也可以将F、F2、F3直接构成封闭三 角形
2、.考向1“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题1. 一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的 直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系.基本矢量图，如图所示f恒力【例1 （多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A, A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍, 球B所受的重力为G,整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为F, A对B的支持力 为F2,若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则FF2的变化情况分别是（）B. F增大D. F2减小A. F减小C
3、. f2增大答案AD 解析 以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出厲二Gtan ，F2二爲，当4向右移动少许后，e减小，则减小，f2减小，故A、D正确.2 .一力恒定（如重力），另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形,确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现.基本矢量图，如图所示X作与F1等大反向的力Fj, F2、F3合力等于Fj, F2、F3、F构成矢量三角形.【例2 （多选）如图所示，在倾角为的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（）A. 斜面对球的支持力逐渐增大B. 斜面对球的支持力逐渐减
4、小C. 挡板对小球的弹力先减小后增大D. 挡板对小球的弹力先增大后减小答案BC解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg斜面的支持力N和挡板的弹力N，如图，当 挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，N和N的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图， 由图看出，斜面对小球的支持力叭逐渐减小，挡板对小球的弹力n2先减小后增大，当n 和N垂直时，弹力N最小，故选项B、C正确，A、D错误.-方法点拨动态分析常用方法1 解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到 因变量与自变量的函数表达式（通常为
5、三角函数关系），最后根据自变量的变化确定因变量的 变化.2 图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况.考向2“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题1.一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等 平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比 相等.基本矢量图，如图所示基本关系式:mg N Th =R=L【例3如图所示为一简易起重装置，（不计一切阻力）AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为 质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并 用钢丝绳跨过
6、滑轮A连接在卷扬机上.开始时，杆BC与AC的夹角ZBCA90。，现使ZBCA缓慢变小，直到ZBCA = 30.在此过程中，杆BC所产生的弹力（A. 大小不变C.先增大后减小答案AB.逐渐增大D.先减小后增大解析 以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知f、N的合力F合与 G大小相等、方向相反.根据三角形相似得A|唸二BC 又 F 合”得Acg,N = ACGZBCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，N不变，故杆BC所产生 的弹力大小不变，故选A.2. 力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利 用两力夹角不变，
7、结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不 同位置判断各力的大小变化.基本矢量图，如图所示【例4 （多选）（2017全国卷I21）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为 a（a2）.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角a不变.在0M由竖直被拉到水平的过程 中（）A. MN上的张力逐渐增大B. MN上的张力先增大后减小C. 0M上的张力逐渐增大D. 0M上的张力先增大后减小答案AD解析 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、0M绳上拉力F2、MN上拉力行，由题 意知，三个力的合力始
8、终为零，矢量三角形如图所示，FF2的夹角为n - a不变，在F2转 至水平的过程中，矢量三角形在同一夕卜接圆上，由图可知，MN上的张力F逐渐增大，OM 上的张力f2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误.m,考向3“活结”的动态分析 如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin 0=Fsin 02，故01=02=03，根据几何关系可知，sin 0=厂歆=L，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结mg点，0不变，若两杆距离d减小，则0减小，2Tcos e=mg, T=2C薦也减小先变小后变大D.甲【例5如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质
9、光滑 滑轮悬挂一重物G现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C 点靠近（C点与A点等高）则在此过程中绳中拉力大小（）A.先变大后不变C.先变小后不变答案A 解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F产F2，由几何 关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为0 ,可知：F1二F2二辟 如图乙所示，设绳长为L，由几何关系其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此6先变大 后不变，由式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确.题型二平衡中的临界、极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的
10、平衡状态“恰好出现” 或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好” “恰能”“恰好”等.临界问题常见的种 类：(1) 由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.(2) 绳子恰好绷紧，拉力F=0.(3) 刚好离开接触面，支持力N=0.2. 极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.3. 解题方法(1) 极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界 条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极 端，即极大和极小.(2) 数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出 函数
11、图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).(3) 物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平 行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.【例6 (2020.山东卷8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平1 1 1B-4 C-5 D-6答案解析A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示.对 A ： ft = mgsin 45 + “mgcos 45
12、对 B : 2mgsin 45 - FT + 3mgcos 45 + 卩mgcos 45 整理得，二5,选项c正确.【例7 (2022.安徽和县第一中学高三开学考试)质量为M的木楔倾角为0,在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑如果用与木楔斜面成Q角 的力F拉着木块匀速上升，如图所示已知重力加速度为g,木楔在整个过程中始终静止.(1)木块与木楔斜面间的动摩擦因数“；当和0满足何种关系时，拉力F有最小值，并求此最小值；(3)当F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力是多大？答案(1)tan 0 (2)a=0 时，F 有最小值，为 mgsin 20 (3)2mgsin
13、40解析 木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin 0二“mgcos 0解得二tan 0 (2)木楔在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有 Fcos a 二 mgsin 0 +f, Fsin a + N 二 mgcos 0 f 二 “N解得F二2mgsin 0 二2mgsin 0cos 0二 mgsin 20cos a + “sin a cos acos 0 + sin asin 0 cos(0 - a)则当a 0时，F有最小值F .二mgsin 20min(3)因为木块及木楔均处于平衡状态,整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即f Fcos(a当F取最小值mgsin 20时，f- Fmin
14、cos 20 二 mgsin 20cos 20 二 *mgsin 40.课时精练口必备基础练1.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切.穿在轨道 上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹 力为N.在运动过程中（）A. F增大，N增大B. F减小，N减小C. F增大，N减小D. F减小，N增大答案C解析 对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示:根据共点力平衡条件有:N - mgcos 0 ,F - mgsin 0 , 其中0为支持力N与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，0变大，故N减小，F增大，故 选C
15、.2如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有 一光滑小金属环.现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点 的拉力F、F2的变化情况，下列判断正确的是（）A. F1和F2都变大B. F1变大，F2变小C. F1和F2都变小D. F1变小，F2变大答案C 解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等木棒绕其左端逆时针缓慢转 动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于小金属环的重力，保持不 变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误.3.（多选）（2019全国卷19）如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑 轮.一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状 态.现用水平向左的拉力缓慢
