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1、数列求和及极限【知识及方法归纳】1、 数列求和主要有以下几种常见方法:(1)公式法;(2)通项转移法;(3)倒序相加法;(4)裂项相消法;(5)错项消法;(6)猜想、证明(数学归纳法)。2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限;求无穷等比数列各项的和。【学法指导】1、 在公式法求和中,除等差、等比的求和公式外,还应掌握自然数方幂数列的求和公式,如:+=;2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列,可通过对数列通项结构特点的分析研究,将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差;3、将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易求和,这样的数列常用倒序相加,如课
2、本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到;4、利用裂项变换改写数列的通项公式,通过消去中间项达到求和的目的;5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列,其求和的方法类似于推导等比数列前n项和公式的方法,通过乘于等比数列的公比,在错位相减,转化为等比数列的求和问题;6、通过对、进行归纳,分析,寻求规律,猜想出,然后再用数学归纳法给予证明。【典型例题】例1 求和:+【分析】这是一个通项为的数列求前 n项和,对通项公式展开可得:=,所以对原数列求和分解为3个新数列求和,可用方法2求和。【简解】+=()+()+()=4(+)4(1+2+3+n)+n=4。例2 求和:+【分析】这是一个通项为
3、的数列求前n项和,观察通项,不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积,可用方法5求和。【简解】设=+,则=+,所以=1+=1+)=1+=,所以=。例3 求,的前n项和【分析】先写出此数列的通项=,它属于用方法4,即裂项求和。【简解】因为=,所以=6(1-)+(-)+(-)= 。例4 若=,求【分析】由于所求的和与 n的奇偶有关,所以按n的奇偶分两类分别求和。【简解】= 2+712+1722+27+,当n为奇数时,=5n+3=,当n为偶数时,=。例5 在等比数列中, =()=,则的取值范围是多少?【分析】无穷等比数列的各项和是指前n项和的极限。当|q|1时,=;当|q|1时,这一极限不存在。即
4、在无穷等比数列中,|q|1(q0)是存在的充要条件。所以特别要注意公式S=的含义及适用范围。因此由=可得:q=1-4,因为0|q|1,所以0|1-4|1,即:0,且。【简解】得的取值范围是(0,)(,)。【复习练习】一、 选择题1、等差数列、的前n项和分别为与,若,则 等于( )A、1 B、 C、 D、2、等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为 ( )A、130 B、170 C、210 D、2603、等比数列中,1,且前n项和满足 =,则的取值范围是( )A、(1、+) B、(1、4) C、(1、2) D、(1、)4、根据时常调查结果,预测某种家用商品从年初开始的几个
5、月内累积的需求量(万件)近似地满足=(n=1,2,12)。按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是 ( ) A、5月、6月 B、6月、7月 C、7月、8月 D、8月、9月5、若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有 ( ) A、13项 B、12项 C、11项 D、10项二、 填空题1、设a1,则 = 。2、已知等差数列的公差d 0 ,首项0,=,则= 。 3、已知等比数列(R),=9,=27,且=(n=1、2),则 = 。 4、设0ab,则 = 。 5、若数列的通项为 (nN),则()= 。三、 解答题1、已知数列, 为其前n项的和,
6、计算得=,=,= ,= 。观察上述结果,推测计算的公式,并用数学归纳法证明。2、设数列的前n项和为,若对所有的正自然数n,都有=。证明:是等差数列。3、 是正数组成的数列,前n项和为,且对所有n,与2的等差中项等于 与2的等比中项。(1)写出数列的前3项;(2)求数列的通项公式(写出推证过程);(3)令=(+) ( n),求lim(+-n)。4、 设是正数组成的等比数列,前n项和为。(1)证明:;(2)是否存在常数c0,使得=成立?并证明你的结论。5、 设为等比数列,=,已知=1,=4。(1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式。6、 已知是首项为2,公比为的等比数列,前n项和为。(1)用表示;(2)是否存在自然数c和k,使得 2成立。