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1、2019年高考数学理科全国1卷19题说题 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点分别为，与轴的交点为。（1）若，求的方程. （2）若，求【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转化，用相似三角形或线性运算破译。本题的第一问来自于教材，稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第
2、二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题：题源1：【2018年全国I理8】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= （ ）A。5 B。6 C。7 D。8题源2：【2018年全国卷理】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，。（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程。【解法分析】（1）设直线： 由抛物线定义得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t的方程，解方程求得结果；（2）设直线：联立直线方程与抛物线方程，利用 可得结合韦达定理求出；根据弦长公式可求得结果. 【参考解法】解法1：（1）设直线与轴交
3、于，方程为 由得，设， 得， 因此直线的方程为 （2）由，得 又， 从而故，代入C的方程得，故得A(3,3), 故 解法2：设直线的方程为 由题设得，故，由题设得 由，得，则， 从而，得因此直线的方程即（2）由（1），得 由,得 可得 故. 解法3：设直线的方程为由题设得，故从而得， 以下略。 解法4：设直线的方程为以下略。解法5（点差法）：（1）设直线的方程为 由题设得，故， 由题设得,而且M在抛物线内部，因此直线的方程为，以下略。解法6：(1) 由题设得 ,设A(3a2，3a)，B(3b2，3b)， 由的斜率为，得, , 由抛物线的定义，得 ，而且M在抛物线内部，因此直线的方程为（2）由,可得故 又由 (1)的，从而得 故A(3,3), 故。解法7：(1) 直线与x轴的交点为P（m,0），设A(3a2，3a)，B(3b2，3b)，由题设得 , 的斜率为，得, , 由抛物线的定义，得 又，由共线，得故 因此直线的方程为，即。 （2）设，由的斜率为 ，可设的参数方程为（t为参数） 代入，整理得设点A,B对应的参数分别为 则 由，得 得 故 。上述解法采用标准形式的参数方程，运算量稍大，如用一般形式求解，更加简捷: 设，由的斜率为，设的参数方程为(t为参数)代入，整理得设点A,B对应的参数分别为 则 由，得 得 故。
